(a) e
(b) e
16. A equação da reta tangente a uma curva no ponto é . Sabendo que em um ponto ( ) qualquer da curva ( constante), encontrar a equação dessa curva.
Passo 1
Estamos com três situações para achar a função de uma curva a partir de informações sobre integrais que envolvem e sobre a reta tangente. Nos itens (a) e (b) vamos derivar a identidade integral para obter , depois integrar e aplicar a condição inicial. No item 16 usamos a reta tangente para achar a constante , integramos e aplicamos .
Passo 2
Para (a), partimos de
Derivando ambos os lados em relação a e usando a regra da derivada de uma integral dependente de , obtemos
e, portanto,
Passo 3
Ainda em (a), integramos
Logo,
Como f(0)=-2, temos D=-2. Então
f(x)=12lnl|x-2x+2r| -2
Passo 4
Para (b), partimos de
integral raizx^4-9,f'(x),dx = 7x^2 + C
Derivando, aparece
raizx^4-9,f'(x) = 14x
e
f'(x)=14xraizx^4-9
Passo 5
Ainda em (b), fazemos u=x^2, du=2x,dx, ficando
f(x)=integral 14xraizx^4-9,dx = 7integral duraizu^2-9 = 7lnl|u+raizu^2-9r| + D
Voltando a x:
f(x)=7lnl(x^2+raizx^4-9r)+D
Usando f(raiz3)=8ln3 e percebendo que raiz(raiz3)^4-9=0, obtemos 7ln3 + D =8ln3 e assim D=ln3.
Passo 6
No item 16, a reta tangente em (0,2) é y=3x+2, logo f'(0)=3. Mas sabemos que
f'(x)=3x^2+k
Substituindo x=0 e f'(0)=3, dá k=3. Assim f'(x)=3x^2+3.
Passo 7
Integrando f'(x)=3x^2+3:
f(x)=x^3+3x+C
Como a curva passa por (0,2), temos f(0)=2Rightarrow C=2. Portanto a equação da curva é