(a) f(0)=-2 e integral raizx^4-9 cdot f^prime(x) d x=7 x^2+c
(b) f(raiz3)=8 ln 3 e (0,2)
16. A equação da reta tangente a uma curva no ponto y=3 x+2 é x, y. Sabendo que em um ponto ( f^prime(x)=3 x^2+k ) qualquer da curva k ( constante), encontrar a equação dessa curva.

Passo 1

Estamos com três situações para achar a função de uma curva a partir de informações sobre integrais que envolvem f'(x) e sobre a reta tangente. Nos itens (a) e (b) vamos derivar a identidade integral para obter f'(x), depois integrar e aplicar a condição inicial. No item 16 usamos a reta tangente para achar a constante k, integramos f' e aplicamos f(0)=2.

Passo 2

Para (a), partimos de
integral (x^3-4x),f'(x),dx = x^2 + C
Derivando ambos os lados em relação a x e usando a regra da derivada de uma integral dependente de x, obtemos
(x^3-4x),f'(x) = 2x
e, portanto,
f'(x) = 2xx^3-4x = 2x^2-4

Passo 3

Ainda em (a), integramos
f'(x) = 2x^2-4 = 1/2x-2 - 1/2x+2
Logo,
f(x) = 12lnl|x-2x+2r| + D
Como f(0)=-2, temos D=-2. Então
f(x)=12lnl|x-2x+2r| -2

Passo 4

Para (b), partimos de
integral raizx^4-9,f'(x),dx = 7x^2 + C
Derivando, aparece
raizx^4-9,f'(x) = 14x
e
f'(x)=14xraizx^4-9

Passo 5

Ainda em (b), fazemos u=x^2, du=2x,dx, ficando
f(x)=integral 14xraizx^4-9,dx = 7integral duraizu^2-9 = 7lnl|u+raizu^2-9r| + D
Voltando a x:
f(x)=7lnl(x^2+raizx^4-9r)+D
Usando f(raiz3)=8ln3 e percebendo que raiz(raiz3)^4-9=0, obtemos 7ln3 + D =8ln3 e assim D=ln3.

Passo 6

No item 16, a reta tangente em (0,2) é y=3x+2, logo f'(0)=3. Mas sabemos que
f'(x)=3x^2+k
Substituindo x=0 e f'(0)=3, dá k=3. Assim f'(x)=3x^2+3.

Passo 7

Integrando f'(x)=3x^2+3:
f(x)=x^3+3x+C
Como a curva passa por (0,2), temos f(0)=2Rightarrow C=2. Portanto a equação da curva é
y=x^3+3x+2

Resposta

(a) f(x)=tfrac12lnl|x-2x+2r| -2
(b) f(x)=7lnl(x^2+raizx^4-9r)+ln3
(16) y=x^3+3x+2

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