Determine se as integrais divergem ou convergem.
integral0^1 1raiz[3]1-x d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria integral0^1 1raiz[3]1 - x,dx converge ou diverge; o conteúdo aqui é análise de integrais impróprias com singularidade no limite de integração, e vamos precisar estudar o comportamento de 1(1 - x)^1/3 perto de x = 1.

Passo 2

Identificamos que a única possível dificuldade está em x = 1, pois 1raiz[3]1 - x = (1 - x)^-1/3 tende a infinito quando x to 1^-. Para testar a convergência podemos comparar com a integral-padrão integral0^1 (1 - x)^-p,dx, que converge se p < 1. Aqui p = tfrac13 < 1, então a integral deve convergir.

Passo 3

Para confirmar e ainda calcular seu valor, fazemos a mudança de variável u = 1 - x, logo dx = -du. Quando x = 0, temos u = 1; quando x = 1, u = 0. A integral vira

Passo 4

Sabendo que

avaliamos de nintegral u^-1/3,du = u^2/32/3 = 32u^2/3, a 0:

Passo 5

Portanto, a integral é convergente e seu valor é tfrac32.

Resposta

A integral converge e vale 3/2.

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