Determine se as integrais divergem ou convergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
converge ou diverge; o conteúdo aqui é análise de integrais impróprias com singularidade no limite de integração, e vamos precisar estudar o comportamento de
perto de
.
Passo 2
Identificamos que a única possível dificuldade está em
, pois
tende a infinito quando
. Para testar a convergência podemos comparar com a integral-padrão
, que converge se
. Aqui
, então a integral deve convergir.
Passo 3
Para confirmar e ainda calcular seu valor, fazemos a mudança de variável
, logo
. Quando
, temos
; quando
,
. A integral vira
Passo 4
Sabendo que
avaliamos de
Passo 5
Portanto, a integral é convergente e seu valor é
.
Resposta
A integral converge e vale
.