Determine se as integrais divergem ou convergem.
integral0^2 11-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria integral0^211-x^2,dx. O conteúdo é de integrais impróprias com singularidade interna e vamos usar limites e frações parciais para investigar.

Passo 2

Observamos que o integrando fica indefinido em x=1, já que 1-x^2=0 nesse ponto. Então separamos a integral original em duas partes usando limites:
integral0^211-x^2,dx = limato1^-integral0^a11-x^2,dx + limbto1^+integralb^211-x^2,dx

Passo 3

Para integrar cada parte, fazemos a decomposição em frações parciais:
11-x^2 = 12cdot11-x + 12cdot11+x
Logo,
integral11-x^2,dx = 12integraldx1-x + 12integraldx1+x = 12l(-ln|1-x| + ln|1+x|r) + C

Passo 4

Analisamos agora o limite da primeira parte quando ato1^-:
integral0^a11-x^2,dx = 12l[-ln(1-x)+ln(1+x)r]0^a = 12l(-ln(1-a)+ln(1+a)r)
Como ato1^-, tem-se -ln(1-a)to+infty. Portanto esta parte cresce sem limite, ou seja, diverge.

Passo 5

Bastando uma das partes divergir para concluir que toda a integral imprópria diverge, temos que integral0^211-x^2,dx diverge.

Resposta

A integral diverge.

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