Determine se as integrais divergem ou convergem.
integral1^infty 1x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria integral1^infty 1x^3,dx converge ou diverge; o conteúdo envolvido é o teste de p-integral para integrais impróprias (sabendo que integral1^infty x^-p,dx converge se p>1).

Passo 2

Reescrevemos como limite: integral1^infty 1x^3,dx = limbtoinfty integral1^b x^-3,dx
Encontramos a antiderivada de x^-3: integral x^-3,dx = -tfrac12x^-2

Passo 3

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo até b e fazemos o limite: integral1^b x^-3,dx = l[-tfrac12 x^-2r]1^b = -tfrac12 b^-2 - l(-tfrac12r) = -tfrac12 b^-2 + tfrac12
Calculamos o limite quando b to infty: limbtoinftyl(-tfrac12 b^-2 + tfrac12r) = 0 + tfrac12 = tfrac12

Resposta

A integral converge e seu valor é tfrac12.

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