Resolva as integrais para concluir as igualdades.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral abaixo, que é uma integral de uma função racional, e vamos usar decomposição em frações parciais para resolvê-la. Precisamos também conhecer fórmulas básicas de integração de
,
e
.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador:
. Então propomos a decomposição em frações parciais
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
e igualamos numeradores:
Comparando coeficientes em
,
e termo independente, obtemos
Logo
,
e
.
Passo 4
Substituímos na integral:
e separamos em três integrais: (-2)\int!\frac{1}{y},dy+\int!\frac{8y}{4y2+9},dy+\int!\frac{1}{4y2+9},dy.
Passo 5
Agora integramos cada parte:
- (-2)\int!\frac{1}{y},dy=-2\ln|y|.
- Em
, fazemos , , então é . - Em
, note que , então
Passo 6
Somando tudo, temos
Para combinar os logaritmos, escrevemos
e ajustamos a constante para obter exatamente a forma desejada.
Passo 7
Por fim, chegamos à igualdade pedida.