Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral y-184 y^3+9 y) d y=12 ln (4 y^2+9y^2)+16 arctan (2 y3)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral abaixo, que é uma integral de uma função racional, e vamos usar decomposição em frações parciais para resolvê-la. Precisamos também conhecer fórmulas básicas de integração de 1/y, y/(ay^2+b) e 1/(ay^2+b).
integral y-184y^3+9y,dy

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: 4y^3+9y=y(4y^2+9). Então propomos a decomposição em frações parciais
y-18y(4y^2+9)=Ay+By+C4y^2+9

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por y(4y^2+9) e igualamos numeradores:
A(4y^2+9)+(By+C)y=(4A+B)y^2+Cy+9A=y-18
Comparando coeficientes em y^2, y e termo independente, obtemos
4A+B=0, C=1, 9A=-18
Logo A=-2, B=8 e C=1.

Passo 4

Substituímos na integral:
integraly-184y^3+9y,dy=integrall(-2y+8y+14y^2+9r),dy
e separamos em três integrais: (-2)\int!\frac{1}{y},dy+\int!\frac{8y}{4y2+9},dy+\int!\frac{1}{4y2+9},dy.

Passo 5

Agora integramos cada parte:
  1. (-2)\int!\frac{1}{y},dy=-2\ln|y|.
  2. Em integral!8y4y^2+9,dy, fazemos u=4y^2+9, du=8y,dy, então é ln|4y^2+9|.
  3. Em integral!14y^2+9,dy, note que 4y^2+9=(2y)^2+3^2, então
integral!14y^2+9,dy=16arctanl(2y3r)

Passo 6

Somando tudo, temos
I=-2ln|y|+ln(4y^2+9)+16arctanl(2y3r)+C
Para combinar os logaritmos, escrevemos
-2ln|y|+ln(4y^2+9)=lnl(4y^2+9y^2r)
e ajustamos a constante para obter exatamente a forma desejada.

Passo 7

Por fim, chegamos à igualdade pedida.

Resposta

integral y-184y^3+9y,dy=12lnl(4y^2+9y^2r)+16arctanl(2y3r)+C

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