Determine se as integrais divergem ou convergem.
integral1^infty 1x^2 d x

Passo 1

A gente tem uma integral imprópria de 1 até ∞ de uma função do tipo . O assunto é integral imprópria em limites infinitos e a gente vai usar o teste-p (aqui p=2>1) e também precisa achar a antiderivada de .

Passo 2

Primeiro a gente reescreve a integral como um limite:
$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2},dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} x^{-2},dx.
$$

Passo 3

Agora calculamos a antiderivada de integral x^-2,dx = -x^-1 + C. Como integral1^b x^-2,dx = l[-x^-1r]1^b = -1b - l(-1r) = 1 - 1b , temos
$$
\int_{1}^{b} x^{-2},dx = \bigl[-x{-1}\bigr]_{1}{b} = -\frac{1}{b} - \bigl(-1\bigr) = 1 - \frac{1}{b}.
$$

Passo 4

Por fim, avaliamos o limite quando btoinfty:
$$
\lim_{b\to\infty} \Bigl(1 - \frac{1}{b}\Bigr) = 1.
$$
Como o resultado é finito, a integral converge e seu valor é 1.

Resposta

A integral converge e seu valor é 1.

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