Determine se as integrais divergem ou convergem.
Passo 1
A gente tem uma integral imprópria de 1 até ∞ de uma função do tipo
. O assunto é integral imprópria em limites infinitos e a gente vai usar o teste-p (aqui p=2>1) e também precisa achar a antiderivada de
.
Passo 2
Primeiro a gente reescreve a integral como um limite:
$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2},dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} x^{-2},dx.
$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2},dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} x^{-2},dx.
$$
Passo 3
Agora calculamos a antiderivada de
. Como
, temos
$$
\int_{1}^{b} x^{-2},dx = \bigl[-x{-1}\bigr]_{1}{b} = -\frac{1}{b} - \bigl(-1\bigr) = 1 - \frac{1}{b}.
$$
\int_{1}^{b} x^{-2},dx = \bigl[-x{-1}\bigr]_{1}{b} = -\frac{1}{b} - \bigl(-1\bigr) = 1 - \frac{1}{b}.
$$
Passo 4
Por fim, avaliamos o limite quando
:
$$
\lim_{b\to\infty} \Bigl(1 - \frac{1}{b}\Bigr) = 1.
$$
\lim_{b\to\infty} \Bigl(1 - \frac{1}{b}\Bigr) = 1.
$$
Como o resultado é finito, a integral converge e seu valor é 1.
Resposta
A integral converge e seu valor é 1.