Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos da seguinte função:
Passo 1
A questão pede para encontrar os mínimos e máximos relativos da função
usando o teste da derivada segunda. O conteúdo envolve derivadas (primeira e segunda) e o critério que diz: se
então
é mínimo local, e se
então
é máximo local. Como a função só está definida para
, vamos trabalhar nesse domínio.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada primeira de
. Usando a regra do produto:
implica
Passo 3
Em seguida, achamos os pontos críticos igualando
:
Passo 4
Agora calculamos a derivada segunda:
Passo 5
Aplicando o teste da derivada segunda em
:
o que garante que
Passo 6
Como bônus, o valor mínimo é
Resposta
Há um único mínimo relativo em x=1/e, com valor f(1/e)=−1/e. Não existem máximos relativos.