Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos da seguinte função:
f(x)=x cdot ln x

Passo 1

A questão pede para encontrar os mínimos e máximos relativos da função f(x)=xln x usando o teste da derivada segunda. O conteúdo envolve derivadas (primeira e segunda) e o critério que diz: se f''(x0)>0 então x0 é mínimo local, e se f''(x0)<0 então x0 é máximo local. Como a função só está definida para x>0, vamos trabalhar nesse domínio.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada primeira de f(x). Usando a regra do produto: f(x)=xln x implica
f'(x)=1cdotln x + xcdot1x=ln x +1

Passo 3

Em seguida, achamos os pontos críticos igualando f'(x)=0:

Passo 4

Agora calculamos a derivada segunda:
f''(x)=ddx(ln x +1)=1x

Passo 5

Aplicando o teste da derivada segunda em x=1/e:
f''l(1/er)=11/e=e>0,
o que garante que x=1/e é um ponto de mínimo relativo. Não surgem outros pontos críticos em x>0, e como não há região fechada, não há máximos relativos.

Passo 6

Como bônus, o valor mínimo é
fl(1/er)=1elnl(1/er)=1e(-1)=-1e

Resposta

Há um único mínimo relativo em x=1/e, com valor f(1/e)=−1/e. Não existem máximos relativos.

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