Determine se as integrais divergem ou convergem.
integral0^infty 11+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria integral0^infty11+x^2,dx converge ou diverge. O conteúdo envolvido é integrais impróprias e vamos precisar usar a definição de limite e a antiderivada de 1/(1+x^2).

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a integral como um limite: definimos
I = integral0^infty11+x^2,dx = limRtoinfty integral0^R11+x^2,dx
Em seguida, lembramos que uma antiderivada de 11+x^2 é arctan(x). Logo,
integral0^R11+x^2,dx = l[arctan(x)r]0^R = arctan(R) - arctan(0)
Agora avaliamos o limite quando Rtoinfty. Sabemos que limRtoinftyarctan(R)=pi2 e arctan(0)=0. Portanto,
I = limRtoinftyl(arctan(R)-0r) = pi2

Passo 3

Como o valor do limite é finito ( pi2), concluímos que a integral converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é pi2.

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