Determine se as integrais divergem ou convergem.
integral2^5 1raizx-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
integral2^5 1raizx-2,dx
converge ou diverge. O conteúdo aqui é integral imprópria, pois o integrando 1/raizx-2 fica singular em x=2. Vamos usar o conceito de integral imprópria e encontrar a antiderivada de uma função potência.

Passo 2

Como há singularidade em x=2, reescrevemos a integral como limite:
integral2^5 1raizx-2,dx = limato2^+ integrala^5 (x-2)^-1/2,dx

Passo 3

Para calcular integral (x-2)^-1/2dx, usamos a regra integral (x-2)^pdx=(x-2)^p+1p+1+C (com pneq-1). Aqui p=-tfrac12, então
integral (x-2)^-1/2dx = (x-2)^-1/2+1-1/2+1 + C = 2raizx-2 + C

Passo 4

Agora avaliamos o limite usando a antiderivada:
limato2^+l[2raizx-2r]x=a^x=5 = 2raiz5-2 - 2limato2^+raiza-2 = 2raiz3 - 0 = 2raiz3

Passo 5

O resultado é finito, logo a integral converge e seu valor é 2raiz3.

Resposta

A integral converge e seu valor é 2raiz3.

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