Utilize as substituições sugeridas para resolver as integrais e concluir as igualdades
integral d xx raizx^2-1=arcsec theta+C, fazendo x=1 sec theta.
Obs.: Para resolver esta questão lembre-se das identidades trigonométricas sin ^2 theta+cos ^2 theta=1 e tan ^2 theta+1=sec ^2 theta.

Passo 1

A integral que queremos resolver é
integral dxxraizx^2-1,
vamos usar a substituição trigonométrica x=sectheta. Como revisão, o conteúdo aqui é integração usando substituição trigonométrica e vamos precisar da identidade tan^2theta+1=sec^2theta.

Passo 2

Fazendo a substituição, calculamos dx e expressamos a raiz:
x=secthetaimplies dx=secthetatantheta,dtheta
raizx^2-1=raizsec^2theta-1=tantheta
Aqui usamos a identidade trigonométrica mencionada.

Passo 3

Reescrevendo a integral com as expressões acima, temos:
integral dxxraizx^2-1 =integral secthetatantheta,dthetasecthetacdottantheta =integral dtheta
Note que o numerador e o denominador se cancelam.

Passo 4

Agora basta integrar em theta:
integral dtheta=theta+C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original x. Como fizemos x=sectheta, isso significa . Então o resultado final é:

Resposta

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