Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral 4 x-2x^3-x^2-2 x d x=ln (x^2-2 x)-ln (x+1)^2+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que a gente recebeu:
integral 4x - 2x^3 - x^2 - 2x , dx = ln (x^2 - 2x) - ln (x+1)^2 + C
Aqui, estamos lidando com integrais racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, que é uma técnica que ajuda a simplificar a integral em partes menores que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador para ver se conseguimos fatorar ele. O denominador é:
x^3 - x^2 - 2x
Podemos fatorar tirando um x como fator comum:
x(x^2 - x - 2)
Agora, vamos fatorar o trinômio x^2 - x - 2. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e +1. Então:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Portanto, o denominador fatorado fica:
x(x - 2)(x + 1)

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como:
4x - 2x(x - 2)(x + 1)
A ideia é quebrar essa fração em frações menores, chamadas de frações parciais. Vamos supor que:
4x - 2x(x - 2)(x + 1) = Ax + Bx - 2 + Cx + 1
Onde A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação por x(x - 2)(x + 1), que é o denominador comum. Assim:
4x - 2 = A(x - 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2)
Agora, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação para resolver para A, B e C.

Passo 5

Primeiro, vamos escolher x = 0:
4(0) - 2 = A(0 - 2)(0 + 1) + B(0)(0 + 1) + C(0)(0 - 2)
-2 = A(-2)(1) + 0 + 0
-2 = -2A implies A = 1
Agora, vamos escolher x = 2:
4(2) - 2 = A(2 - 2)(2 + 1) + B(2)(2 + 1) + C(2)(2 - 2)
8 - 2 = 0 + 6B + 0
6 = 6B implies B = 1
Por fim, vamos escolher x = -1:
4(-1) - 2 = A(-1 - 2)(-1 + 1) + B(-1)(-1 + 1) + C(-1)(-1 - 2)
-4 - 2 = 0 + 0 + C(-1)(-3)
-6 = 3C implies C = -2

Passo 6

Agora que encontramos A = 1, B = 1 e C = -2, podemos reescrever a fração original:
4x - 2x(x - 2)(x + 1) = 1x + 1x - 2 - 2x + 1

Passo 7

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral 1x , dx + integral 1x - 2 , dx - 2 integral 1x + 1 , dx
Sabemos que:
integral 1u , du = ln|u| + C
Então, integrando cada parte:
ln|x| + ln|x - 2| - 2ln|x + 1| + C

Passo 8

Podemos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
ln(x(x - 2)(x + 1)^2) + C
Mas conforme o enunciado, a resposta pode ser escrita de forma separada também:
ln (x^2 - 2x) - ln (x+1)^2 + C

Resposta

integral 4x - 2x^3 - x^2 - 2x , dx = ln (x^2 - 2x) - ln (x+1)^2 + C

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