Resolva as integrais para concluir as igualdades.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que a gente recebeu:
Aqui, estamos lidando com integrais racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais, que é uma técnica que ajuda a simplificar a integral em partes menores que a gente consegue integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador para ver se conseguimos fatorar ele. O denominador é:
Podemos fatorar tirando um
como fator comum:
Agora, vamos fatorar o trinômio
. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e +1. Então:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como:
A ideia é quebrar essa fração em frações menores, chamadas de frações parciais. Vamos supor que:
Onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
, que é o denominador comum. Assim:
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação para resolver para
,
e
.
Passo 5
Primeiro, vamos escolher
:
Agora, vamos escolher
:
Por fim, vamos escolher
:
Passo 6
Agora que encontramos
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Sabemos que:
Então, integrando cada parte:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
Mas conforme o enunciado, a resposta pode ser escrita de forma separada também: