Determine se as integrais divergem ou convergem.
integral0^3 1x-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para a gente decidir se a integral imprópria integral0^3 1x-1,dx converge ou diverge. O conteúdo aqui é de integrais impróprias motivadas por descontinuidades, e vamos precisar usar limites para analisar cada pedaço separado em torno do ponto problemático.

Passo 2

Observando o integrando, vemos que ele fica infinito em x=1. Isso faz a integral ser imprópria, então a gente divide em duas partes usando limites:
integral0^3 1x-1,dx = limtto1^-integral0^t 1x-1,dx + limsto1^+integrals^3 1x-1,dx

Passo 3

Precisamos da primitiva de 1x-1. Como
ddxl(ln|x-1|r)=1x-1,
a antiderivada é ln|x-1|+C.

Passo 4

Vamos avaliar a parte de 0 até 1^-:
limtto1^-integral0^t 1x-1,dx = limtto1^-l[ln|x-1|r]0^t = limtto1^-l(ln|t-1| - ln|-1|r) = limtto1^-ln(1-t) = -infty
Ou seja, essa parte já não dá valor finito.

Passo 5

Agora a parte de 1^+ até 3:
limsto1^+integrals^3 1x-1,dx = limsto1^+l[ln|x-1|r]s^3 = limsto1^+l(ln2 - ln(s-1)r) = +infty
Também não dá valor finito.

Passo 6

Como cada uma das duas partes diverge (uma vai a -infty e a outra a +infty), a integral imprópria não converge. Não existe valor finito para ela.

Resposta

A integral diverge.

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