Determine se os integrais impropios abaixo divergem ou convergem.
integral0^infty 1x^2+5 x+6 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o integral impróprio converge ou diverge. Isso está dentro do tópico de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprios. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com integrais que têm limites infinitos e como simplificar a função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). É uma expressão quadrática, e podemos fatorá-la para facilitar a integração. Vamos fatorar:
integral0^infty 1(x + 2)(x + 3) , dx
Agora, nosso integral fica:

Passo 3

Para integrar essa fração, vamos usar frações parciais. A ideia é separar a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Vamos escrever:
1(x + 2)(x + 3) = Ax + 2 + Bx + 3
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x + 3) + B(x + 2) para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar e . Para isso, podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.

Passo 5

Vamos escolher 1 = A(-3 + 3) + B(-3 + 2):
1 = A(0) + B(-1)
1 = -B
B = -1
1 = A(-2 + 3) + B(-2 + 2)
Agora, escolhendo 1 = A(1) + B(0):
1 = A
A = 1

Passo 6

Agora que temos 1(x + 2)(x + 3) = 1x + 2 - 1x + 3 e integral0^infty ( 1x + 2 - 1x + 3 ) , dx, podemos reescrever a fração:
Então, o integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral 1x + 2 , dx = ln|x + 2| + C é integral 1x + 3 , dx = ln|x + 3| + C . Então:
integral0^infty ( 1x + 2 - 1x + 3 ) , dx = [ ln(x + 2) - ln(x + 3) ]0^infty
Aplicando isso ao nosso integral:

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite quando limx to infty [ ln(x + 2) - ln(x + 3) ] = limx to infty ln( x + 2x + 3 ) = ln( 11 ) = ln(1) = 0 tende a ln(0 + 2) - ln(0 + 3) = ln(2) - ln(3) = ln( 23 ) e depois subtrair o valor quando .
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo os limites:
0 - ln( 23 ) = -ln( 23 ) = ln( 32 )
Como é um número finito, isso significa que o integral converge.

Resposta

O integral impróprio converge e seu valor é .

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