Ache o volume do solido gerado pela rotaçao, em torno da reta y=-5, da regiao limitada pelas parabolas y=x^2 e y=1-x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume do sólido que é formado quando a região delimitada pelas parabolas e é girada em torno da reta . Vamos precisar usar o conceito de volumes de rotação, especificamente o método dos discos ou das cascas cilíndricas. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas parabolas se encontram para saber os limites de integração. Igualando x^2 = 1 - x - x^2 :
2x^2 + x - 1 = 0
Somando x = -b pm raizb^2 - 4ac2a em ambos os lados:
x = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = 24 = 0,5 e x = -44 = -1
Onde , e :
Isso nos dá duas soluções:
Então, os limites de integração são de a .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região que vai ser girada em torno da reta y = x^2 = 0 . Para isso, precisamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de integração.
Vamos calcular o valor das funções em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, y = 1 - x - x^2 = 1 - 0 - 0 = 1 :
Assim, está acima de no intervalo de a .

Passo 4

Vamos usar o método dos discos para encontrar o volume. Esse método envolve calcular a área dos discos formados pela rotação e integrar essa área ao longo do intervalo.
A fórmula geral para o volume usando discos é:
V = pi integrala^b [R(x)]^2 - [r(x)]^2 , dx
Onde:
  • é a distância do eixo de rotação à função de cima.
  • é a distância do eixo de rotação à função de baixo.

Passo 5

Primeiro, precisamos expressar R(x) = (1 - x - x^2) - (-5) = 1 - x - x^2 + 5 = 6 - x - x^2 e r(x) = x^2 - (-5) = x^2 + 5 em termos de . O eixo de rotação é , então:

Passo 6

Agora, substituímos V = pi integral-1^0,5 [(6 - x - x^2)^2 - (x^2 + 5)^2] dx e na fórmula do volume:

Passo 7

Vamos expandir os termos dentro da integral:
(6 - x - x^2)^2 = 36 - 12x - 12x^2 + x^2 + 2x^3 + x^4 = x^4 + 2x^3 - 11x^2 - 12x + 36
(x^2 + 5)^2 = x^4 + 10x^2 + 25
Subtraindo os dois:
(x^4 + 2x^3 - 11x^2 - 12x + 36) - (x^4 + 10x^2 + 25) = 2x^3 - 21x^2 - 12x + 11

Passo 8

Agora, a integral fica:
V = pi integral-1^0,5 (2x^3 - 21x^2 - 12x + 11) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral 2x^3 , dx = 24x^4 = 12x^4
integral -21x^2 , dx = -21 cdot x^33 = -7x^3
integral -12x , dx = -12 cdot x^22 = -6x^2
integral 11 , dx = 11x
Então, a antiderivada é:
12x^4 - 7x^3 - 6x^2 + 11x

Passo 9

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração 12(0,5)^4 - 7(0,5)^3 - 6(0,5)^2 + 11(0,5) = 12(0,0625) - 7(0,125) - 6(0,25) + 5,5 = 0,03125 - 0,875 - 1,5 + 5,5 = 3,15625 e 12(-1)^4 - 7(-1)^3 - 6(-1)^2 + 11(-1) = 12(1) - 7(-1) - 6(1) - 11 = 0,5 + 7 - 6 - 11 = -9,5 :
Para :
Para :

Passo 10

Calculamos a diferença entre os valores avaliados:
3,15625 - (-9,5) = 12,65625
Então, o volume é:
V = pi times 12,65625 approx 39,77 , unidades cúbicas ú

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação é aproximadamente unidades cúbicas.

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