Ache o volume do solido gerado pela rotaçao, em torno da reta
, da regiao limitada pelas parabolas
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume do sólido que é formado quando a região delimitada pelas parabolas
e
é girada em torno da reta
. Vamos precisar usar o conceito de volumes de rotação, especificamente o método dos discos ou das cascas cilíndricas. Vamos dar um passo de cada vez!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas parabolas se encontram para saber os limites de integração. Igualando
:
Somando
em ambos os lados:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os limites de integração são de
a
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região que vai ser girada em torno da reta
. Para isso, precisamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de integração.
Vamos calcular o valor das funções em um ponto dentro do intervalo, por exemplo,
:
Assim,
está acima de
no intervalo de
a
.
Passo 4
Vamos usar o método dos discos para encontrar o volume. Esse método envolve calcular a área dos discos formados pela rotação e integrar essa área ao longo do intervalo.
A fórmula geral para o volume usando discos é:
Onde:
-
é a distância do eixo de rotação à função de cima. -
é a distância do eixo de rotação à função de baixo.
Passo 5
Primeiro, precisamos expressar
e
em termos de
. O eixo de rotação é
, então:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Passo 7
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Subtraindo os dois:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada é:
Passo 9
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração
e
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Calculamos a diferença entre os valores avaliados:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação é aproximadamente
unidades cúbicas.