Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule: partial zpartial t, partial zpartial s e partial wpartial t, partial wpartial s e partial wpartial r: z=x^2 y^-2, x=s^2-t, y=2 s t

Passo 1

Temos a função z=f(x,y) com z= x^2 y^{-2}, onde x(s,t)=s^2 - t e y(s,t)=2 s t. Depois há w=f(x,y,z). O que precisamos é aplicar a regra da cadeia para achar ∂z/∂t, ∂z/∂s e, em seguida, ∂w/∂t, ∂w/∂s e ∂w/∂r.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a s e t:
xs=partialpartial s(s^2 - t)=2s, xt=partialpartial t(s^2 - t)=-1,
ys=partialpartial s(2st)=2t, yt=partialpartial t(2st)=2s

Passo 3

Obter as derivadas parciais de z em relação a x e y:
zx=partialpartial x(x^2 y^-2)=2x,y^-2, zy=partialpartial y(x^2 y^-2)=-2x^2,y^-3

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para z(s,t):
Para ∂z/∂t temos
partial zpartial t=zx xt + zy yt =2x y^-2(-1)+(-2x^2 y^-3)(2s)
Substituindo x=s^2-t e y=2st e simplificando aparece
partial zpartial t=-s^2 - t2t^3
Para ∂z/∂s temos
partial zpartial s=zx xs + zy ys =2x y^-2(2s)+(-2x^2 y^-3)(2t),
que, após substituir e simplificar, resulta em
partial zpartial s=(s^2 - t)(s^2 + t)2s^3 t^2

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para w(x,y,z) em função de (r,s,t):
partial wpartial t=wx xt + wy yt + wz zt = -wx + 2s,wy + zt,wz,
partial wpartial s=wx xs + wy ys + wz zs = 2s,wx + 2t,wy + zs,wz,
partial wpartial r=wx xr + wy yr + wz zr = 0 + 0 + 0 = 0,
pois x_r=y_r=0 e z_r=0.
Aqui z_t e z_s são as derivadas que já calculamos. Portanto basta inserir os valores de z_t e z_s nas expressões acima para obter as derivadas finais de w.

Resposta

partial zpartial t=-s^2 - t2t^3, partial zpartial s=(s^2 - t)(s^2 + t)2s^3 t^2,
partial wpartial t=-wx +2s,wy +l(-s^2 - t2t^3r)wz, partial wpartial s=2s,wx+2t,wy+(s^2 - t)(s^2 + t)2s^3 t^2,wz, partial wpartial r=0

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