Usando a regra da cadeia para
e
, calcule:
:
Passo 1
Temos a função z=f(x,y) com z= x^2 y^{-2}, onde x(s,t)=s^2 - t e y(s,t)=2 s t. Depois há w=f(x,y,z). O que precisamos é aplicar a regra da cadeia para achar ∂z/∂t, ∂z/∂s e, em seguida, ∂w/∂t, ∂w/∂s e ∂w/∂r.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a s e t:
Passo 3
Obter as derivadas parciais de z em relação a x e y:
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para z(s,t):
Para ∂z/∂t temos
Para ∂z/∂t temos
Substituindo x=s^2-t e y=2st e simplificando aparece
Para ∂z/∂s temos
que, após substituir e simplificar, resulta em
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para w(x,y,z) em função de (r,s,t):
pois x_r=y_r=0 e z_r=0.
Aqui z_t e z_s são as derivadas que já calculamos. Portanto basta inserir os valores de z_t e z_s nas expressões acima para obter as derivadas finais de w.