Determine se os integrais impropios abaixo divergem ou convergem.
a) 2 integral1^infty x(1+x^2)^2 d x

Passo 1

Vamos analisar o exercício que pede para determinar se o integral impróprio converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de integrais impróprios, que são integrais com limites infinitos ou onde a função não é definida em algum ponto do intervalo de integração. Para resolver, vamos verificar se o valor da integral é finito (converge) ou infinito (diverge).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral dada é um integral impróprio devido ao limite superior . Para analisar a convergência, podemos tentar calcular a integral ou usar um teste de comparação.

Passo 3

Vamos tentar calcular a integral. A função a ser integrada é . Podemos simplificar essa integral usando substituição.

Passo 4

Fazemos a substituição . Então, derivando ambos os lados, temos , o que implica que .

Passo 5

Substituindo na integral, obtemos:
2 integral1^infty x(1+x^2)^2 , dx = 2 integralu(1)^u(infty) 1u^2 cdot du2 = integral2^infty 1u^2 , du
Aqui, e .

Passo 6

Agora, integramos integral 1u^2 , du = -1u + C :
[ -1u ]2^infty = (0 - (-12)) = 12
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O integral impróprio converge e seu valor é .

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