Determine se os integrais impropios abaixo divergem ou convergem.
a)
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Passo 1
Vamos analisar o exercício que pede para determinar se o integral impróprio
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de integrais impróprios, que são integrais com limites infinitos ou onde a função não é definida em algum ponto do intervalo de integração. Para resolver, vamos verificar se o valor da integral é finito (converge) ou infinito (diverge).
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral dada é um integral impróprio devido ao limite superior
. Para analisar a convergência, podemos tentar calcular a integral ou usar um teste de comparação.
Passo 3
Vamos tentar calcular a integral. A função a ser integrada é
. Podemos simplificar essa integral usando substituição.
Passo 4
Fazemos a substituição
. Então, derivando ambos os lados, temos
, o que implica que
.
Passo 5
Substituindo na integral, obtemos:
Aqui,
e
.
Passo 6
Agora, integramos
:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O integral impróprio
converge e seu valor é
.