Determine os pontos extremos de:
tais que
.
Passo 1
O problema pede pra encontrar os extremos de z = x² + 2xy + y² sob a restrição x – y = 3; o conteúdo é otimização com restrição e podemos usar substituição ou multiplicadores de Lagrange. Vamos usar substituição por ser mais direto.
Passo 2
Repare que a função pode ser reescrita como z = (x + y)², pois x² + 2xy + y² = (x + y)². Isso já simplifica nossa vida, porque agora z depende só de (x + y).
Passo 3
Pela restrição x – y = 3 temos y = x – 3. Substituindo em z = (x + y)² obtemos uma função de uma variável:
Passo 4
Para achar extremos, derivamos em relação a x:
Passo 5
Igualando a zero, 8x – 12 = 0 dá x = 3/2. Logo y = x – 3 = 3/2 – 3 = -3/2.
Passo 6
Para verificar o tipo de extremo, olhamos a segunda derivada:
ou seja, temos um mínimo em x = 3/2. Como (2x – 3)² cresce sem limite quando x → ±∞, não existe máximo sob essa reta.
Passo 7
O ponto de mínimo é (x,y) = (3/2, -3/2) com valor z = 0.
Resposta
O único extremo é um mínimo em (3/2, -3/2) com zₘᵢₙ = 0; não há máximo.