Determine os pontos extremos de: z=x^2+2 x y+y^2 tais que x-y=3.

Passo 1

O problema pede pra encontrar os extremos de z = x² + 2xy + y² sob a restrição x – y = 3; o conteúdo é otimização com restrição e podemos usar substituição ou multiplicadores de Lagrange. Vamos usar substituição por ser mais direto.

Passo 2

Repare que a função pode ser reescrita como z = (x + y)², pois x² + 2xy + y² = (x + y)². Isso já simplifica nossa vida, porque agora z depende só de (x + y).

Passo 3

Pela restrição x – y = 3 temos y = x – 3. Substituindo em z = (x + y)² obtemos uma função de uma variável:
z(x) = l(x + (x - 3)r)^2 = (2x - 3)^2

Passo 4

Para achar extremos, derivamos em relação a x:
z'(x) = 2(2x - 3) cdot 2 = 8x - 12

Passo 5

Igualando a zero, 8x – 12 = 0 dá x = 3/2. Logo y = x – 3 = 3/2 – 3 = -3/2.

Passo 6

Para verificar o tipo de extremo, olhamos a segunda derivada:
z''(x) = 8 > 0,
ou seja, temos um mínimo em x = 3/2. Como (2x – 3)² cresce sem limite quando x → ±∞, não existe máximo sob essa reta.

Passo 7

O ponto de mínimo é (x,y) = (3/2, -3/2) com valor z = 0.

Resposta

O único extremo é um mínimo em (3/2, -3/2) com zₘᵢₙ = 0; não há máximo.

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