Determine o valor máximo do produto de três números positivos tais que
.
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar o valor máximo do produto de três números positivos x, y, z sujeitos à restrição 2xy + xz + 3yz = 72. O conteúdo envolve otimização com restrição, então vamos usar multiplicadores de Lagrange e ainda aproveitar que maximizar xyz é equivalente a maximizar ln(xyz).
Passo 2
Definimos a restrição g(x,y,z) = 2xy + xz + 3yz - 72 = 0 e a função auxiliar
Tomamos derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 3
Para eliminar
e achar relações entre x, y e z, dividimos as equações duas a duas. De (∂L/∂x)/(∂L/∂y) obtemos
De (∂L/∂x)/(∂L/∂z) vem
Passo 4
Agora substituímos x e z em função de y na restrição: x = 3y e z = 2y. Então
Logo
e, como y > 0, temos y = 2. Assim x = 3·2 = 6 e z = 2·2 = 4.
Passo 5
Finalmente, o produto é
Portanto, o valor máximo do produto, sob a restrição dada e com x,y,z positivos, é 48.
Resposta
48