Determine o valor máximo do produto de três números positivos tais que 2 x y+x z+3 y z=72.

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar o valor máximo do produto de três números positivos x, y, z sujeitos à restrição 2xy + xz + 3yz = 72. O conteúdo envolve otimização com restrição, então vamos usar multiplicadores de Lagrange e ainda aproveitar que maximizar xyz é equivalente a maximizar ln(xyz).

Passo 2

Definimos a restrição g(x,y,z) = 2xy + xz + 3yz - 72 = 0 e a função auxiliar
L(x,y,z,lambda) = ln x + ln y + ln z + lambda,(2xy + xz + 3yz - 72)
Tomamos derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x : ;1x + lambda,(2y + z) = 0,
partial Lpartial y : ;1y + lambda,(2x + 3z) = 0,
partial Lpartial z : ;1z + lambda,(x + 3y) = 0

Passo 3

Para eliminar lambda e achar relações entre x, y e z, dividimos as equações duas a duas. De (∂L/∂x)/(∂L/∂y) obtemos
1/x1/y = 2y+z2x+3z ;Longrightarrow; y(2x+3z) = x(2y+z) ;Rightarrow; x = 3y
De (∂L/∂x)/(∂L/∂z) vem
1/x1/z = 2y+zx+3y ;Longrightarrow; z(x+3y) = x(2y+z) ;Rightarrow; z = tfrac23x

Passo 4

Agora substituímos x e z em função de y na restrição: x = 3y e z = 2y. Então
2xy + xz + 3yz = 2(3y)y + (3y)(2y) + 3y(2y) = 6y^2 + 6y^2 + 6y^2 = 18y^2 = 72
Logo y^2 = 4 e, como y > 0, temos y = 2. Assim x = 3·2 = 6 e z = 2·2 = 4.

Passo 5

Finalmente, o produto é
xyz = 6 times 2 times 4 = 48
Portanto, o valor máximo do produto, sob a restrição dada e com x,y,z positivos, é 48.

Resposta

48

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