Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
integral3^infty 1x^27 d x

Passo 1

Beleza, a gente tem a integral imprópria
integral3^infty 1x^2/7,dx
O conteúdo aqui é “integrais impróprias” (porque o limite superior é infinito) e “regra de potência” pra achar antiderivada. Vamos usar:
  1. Definição de integral imprópria como limite.
  2. Regra integral x^n,dx = x^n+1n+1, n neq -1.

Passo 2

Transformar em limite:
integral3^infty x^-2/7,dx ;=;limbtoinftyintegral3^b x^-2/7,dx
Pela definição, se esse limite der um número finito, a integral converge; caso contrário, diverge.

Passo 3

Calcular a antiderivada de x^-2/7:
Aqui n=-tfrac27, então
integral x^-2/7,dx = x^(-2/7)+1(-2/7)+1 = x^5/75/7 = 75,x^5/7

Passo 4

Volta pro limite:
limbtoinftyl[75,x^5/7r]x=3^x=b = 75,l(b^5/7-3^5/7r)
Como b^5/7toinfty quando btoinfty, o resultado vai para infinito. Logo, é impossível ficar num valor finito.

Resposta

A integral diverge (não converge a um valor finito).

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