Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas ao redor dos eixos dados:
(eixo y);
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é uma região do plano limitada pelas curvas
e
e a gente vai girar essa região em torno do eixo .
Matéria: Cálculo de volumes de sólidos de revolução.
O que vamos precisar:
e a gente vai girar essa região em torno do eixo
Matéria: Cálculo de volumes de sólidos de revolução.
O que vamos precisar:
- Encontrar onde as curvas se cruzam (pontos de interseção).
- Escolher um método — aqui o das cascas cilíndricas é mais simples, já que giramos em torno do eixo vertical
. - Montar e calcular a integral de volume.
Passo 2
Primeiro, pontos de interseção:
igualamos
ou
.
Então a região fica para entre 0 e 1.
Em cada desse intervalo, a “altura” vertical da região é
,
porque está acima de
em [0,1].
igualamos
Então a região fica para
Em cada
porque
Passo 3
Método das cascas cilíndricas:
Imagine uma tirinha vertical em , que ao girar forma uma casca fina.
Imagine uma tirinha vertical em
- Raio da casca = distância ao eixo
= . - Altura da casca = diferença entre as curvas =
. - Espessura =
.
A área lateral de cada casca é
Então o volume de cada fatia é
Para o volume total, soma (integra) de
a
.
Passo 4
Montando e resolvendo a integral: