Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas ao redor dos eixos dados:
y=x^3, y=x^2 (eixo y);

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é uma região do plano limitada pelas curvas
,y = x^3 e ,y = x^2
e a gente vai girar essa região em torno do eixo y.
Matéria: Cálculo de volumes de sólidos de revolução.
O que vamos precisar:
  1. Encontrar onde as curvas se cruzam (pontos de interseção).
  2. Escolher um método — aqui o das cascas cilíndricas é mais simples, já que giramos em torno do eixo vertical y.
  3. Montar e calcular a integral de volume.

Passo 2

Primeiro, pontos de interseção:
igualamos x^3 = x^2
Rightarrow x^2(x-1) = 0
Rightarrow x = 0 ou x = 1.
Então a região fica para x entre 0 e 1.
Em cada x desse intervalo, a “altura” vertical da região é
ytopo - yfundo = x^2 - x^3,
porque x^2 está acima de x^3 em [0,1].

Passo 3

Método das cascas cilíndricas:
Imagine uma tirinha vertical em x, que ao girar forma uma casca fina.
  • Raio da casca = distância ao eixo y = x.
  • Altura da casca = diferença entre as curvas = x^2 - x^3.
  • Espessura = dx.
    A área lateral de cada casca é
2pi times (raio) times (a
Então o volume de cada fatia é
dV = 2pi,x,(x^2 - x^3),dx
Para o volume total, soma (integra) de x=0 a x=1.

Passo 4

Montando e resolvendo a integral:
V = integral0^1 2pi,x,(x^2 - x^3),dx = 2pi integral0^1 (x^3 - x^4),dx = 2pi l[tfracx^44 - tfracx^55r]0^1 = 2pil(tfrac14 - tfrac15r) = 2pi cdot tfrac120 = tfracpi10

Resposta

V = pi10

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