Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
integral-infty^infty 2 x4+x^2 d x

Passo 1

E aí, tudo certo? O exercício quer saber se
integral-infty^infty2x4+x^2,dx
converge ou diverge. Isso é coisa de integrais impróprias com limites infinitos. Pra resolver, vamos precisar:
  1. Entender a definição de integral imprópria em pminfty.
  2. Quebrar em duas partes (de -infty a 0 e de 0 a infty).
  3. Achar a primitiva de 2x4+x^2 e testar o que acontece nos limites.

Passo 2

Quando temos
integral-infty^inftyf(x),dx
definimos assim:
integral-infty^inftyf(x),dx =limAto-inftyintegralA^0f(x),dx +limBtoinftyintegral0^Bf(x),dx
Cada uma dessas duas integrais tem de dar um número finito. Se qualquer uma delas divergir, toda a integral imprópria diverge.

Passo 3

Vamos achar a primitiva de f(x)=dfrac2x4+x^2. Use substituição:
u=4+x^2Rightarrow du=2x,dx
Então
integral2x4+x^2,dx =integralduu =ln|u|+C =ln(4+x^2)+C
Agora calcula a parte de 0 até B:
integral0^B2x4+x^2,dx =l[ln(4+x^2)r]0^B =ln(4+B^2)-ln(4)
Quando Btoinfty, ln(4+B^2)toinfty. Ou seja, essa integral diverge (vai pra infty).

Resposta

A integral imprópria
integral-infty^infty2x4+x^2,dx
diverge.

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