a) achar o raio de convergência e o domínio de definição de ; b) escrever a série de potências de , achar seu raio de convergência usando o teste da razão (Seção 13.1) e validar o Teorema 13.2.1; c) achar o domínio de . Vamos usar o teste da razão e as regras de derivação termo a termo de séries de potências.
Passo 2
Para achar o raio de convergência de
aplicamos o teste da razão: calculamos
O teste diz que converge se L<1, ou seja |x|<1, e diverge se |x|>1. Logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Para determinar o domínio de f, analisamos os extremos:
Em x=1: a série vira sumn=1^infty(-1)^n-1tfrac1n, que é a série alternante harmônica e converge (condicionalmente) a ln2.
Em x=-1: a série vira sum(-1)^n-1(-1)^n/n= -sum1/n, que diverge (harmônica pura).
Reindexando (colocando k=n-1) ou reconhecendo série geométrica, obtemos
$$f’(x)=1 - x + x^2 - x^3 + \cdots=\sum_{k=0}\infty(-1)k x^k.
$$
Passo 5
Para o raio de convergência de f', podemos ou repetir o teste da razão sobre os coeficientes bk=(-1)^k, ou invocar o Teorema 13.2.1 que garante que derivar termo a termo preserva o mesmo raio. Assim o raio de f' é
R'=1
Examinamos agora a convergência nos extremos para f': em x=1 a série é 1-1+1-cdots (não converge) e em x=-1 é 1+1+1+cdots (não converge).
Passo 6
Consequentemente, o domínio de f' é o intervalo aberto de convergência:
(-1,1)
Resposta
a) Raio de convergência R=1; domínio de f é (-1,1]. b) Série de f'(x): sumk=0^infty(-1)^k x^k, raio de convergência R'=1. c) Domínio de f' é (-1,1).