Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de con-
vergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secçäo 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); © ache o dominio de f^prime.
f(x)=sumn=1^+infty(-1)^n-1 x^nn

Passo 1

O enunciado pede para a série
f(x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn
a) achar o raio de convergência e o domínio de definição de f; b) escrever a série de potências de f'(x), achar seu raio de convergência usando o teste da razão (Seção 13.1) e validar o Teorema 13.2.1; c) achar o domínio de f'. Vamos usar o teste da razão e as regras de derivação termo a termo de séries de potências.

Passo 2

Para achar o raio de convergência de
f(x)=sumn=1^inftyan x^ncom an=(-1)^n-11n,
aplicamos o teste da razão: calculamos
L=limntoinfty|an+1x^n+1an x^n| =limntoinfty|(-1)^nx^n+1n+1(-1)^n-1x^nn| =limntoinfty|x|nn+1 =|x|
O teste diz que converge se L<1, ou seja |x|<1, e diverge se |x|>1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Para determinar o domínio de f, analisamos os extremos:
  • Em x=1: a série vira sumn=1^infty(-1)^n-1tfrac1n, que é a série alternante harmônica e converge (condicionalmente) a ln2.
  • Em x=-1: a série vira sum(-1)^n-1(-1)^n/n= -sum1/n, que diverge (harmônica pura).
Portanto o domínio de f é o intervalo
(-1,1],

Passo 4

Derivamos termo a termo para obter
f'(x)=sumn=1^infty(-1)^n-1n x^n-1n= sumn=1^infty(-1)^n-1x^n-1
Reindexando (colocando k=n-1) ou reconhecendo série geométrica, obtemos
$$f’(x)=1 - x + x^2 - x^3 + \cdots=\sum_{k=0}\infty(-1)k x^k.
$$

Passo 5

Para o raio de convergência de f', podemos ou repetir o teste da razão sobre os coeficientes bk=(-1)^k, ou invocar o Teorema 13.2.1 que garante que derivar termo a termo preserva o mesmo raio. Assim o raio de f' é
R'=1
Examinamos agora a convergência nos extremos para f': em x=1 a série é 1-1+1-cdots (não converge) e em x=-1 é 1+1+1+cdots (não converge).

Passo 6

Consequentemente, o domínio de f' é o intervalo aberto de convergência:
(-1,1)

Resposta

a) Raio de convergência R=1; domínio de f é (-1,1]. b) Série de f'(x): sumk=0^infty(-1)^k x^k, raio de convergência R'=1. c) Domínio de f' é (-1,1).

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