Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de con-
vergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secçäo 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); © ache o dominio de f^prime.
f(x)=sumn=1^+infty x^2 n-2(2 n-2)!

Passo 1

A questão pede para a função de potência f(x)=sumn=1^inftyx^2n-2(2n-2)!: (a) achar o raio de convergência e o domínio de f; (b) obter a série de potências de f'(x), seu raio de convergência e verificar o Teorema 13.2.1; © achar o domínio de f'. Vamos usar séries de potências, Critério da Razão e derivação termo a termo.

Passo 2

Para achar o raio de convergência de f usamos o Critério da Razão. Denotando o termo geral por un=x^2n-2(2n-2)!,calculamos:
limntoinfty|un+1un|=limntoinfty|x|^2(2n)(2n-1)=0Como esse limite é zero para todo x, a série converge para todo x, logo o raio de convergência é R=infty e o domínio de f é R.

Passo 3

Derivando termo a termo (Teorema 13.2.1) temos
f'(x)=sumn=1^inftyddxl(x^2n-2(2n-2)!r) =sumn=2^infty(2n-2)x^2n-3(2n-2)! =sumn=2^inftyx^2n-3(2n-3)! Fazendo a troca de índice m=n-1 fica
f'(x)=summ=1^inftyx^2m-1(2m-1)!,que é exatamente a expansão da função sinh(x).

Passo 4

Para o raio de convergência de f' aplicamos de novo o Critério da Razão ao termo vm=x^2m-1(2m-1)!:
limmtoinfty|vm+1vm|=limmtoinfty|x|^2(2m+1)(2m)=0Logo o raio é R'=infty e o domínio de f' também é R.

Resposta

(a) R=infty, domínio de f é R. (b) f'(x)=summ=0^inftyx^2m+1(2m+1)!, raio de convergência R'=infty. © domínio de f' é R.

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