Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
integral0^3 1x-3 d x

Passo 1

Vamos determinar se a integral integral0^3 1x-3 ,dx converge ou diverge. O conteúdo aqui é integral imprópria devido à singularidade em x=3, que é um dos limites de integração. Para tratar isso, vamos reescrever a integral como um limite quando nos aproximamos de 3 pelo lado esquerdo.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral como limite:
integral0^3 1x-3 ,dx = limtto 3^- integral0^t 1x-3 ,dx
Em seguida, calculamos a primitiva de 1/(x-3):
integral 1x-3 ,dx = lnl|x-3r| + C
Aplicando os limites de 0 até t, obtemos
integral0^t 1x-3 ,dx = lnl|t-3r| - lnl|0-3r| = lnl|t-3r| - ln 3
Agora, tomamos o limite quando tto3^-. Como t<3, temos |t-3|=3-t e portanto
limtto3^- l(ln(3-t) - ln 3r) = -infty - ln 3 = -infty
Isso mostra que a integral não converge para um valor finito.

Passo 3

Como o limite da integral imprópria é -infty), concluímos que a integral diverge. Não há valor finito associado.

Resposta

A integral diverge.

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