Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
integral0^4 1x^2-4 x+3 d x

Passo 1

O problema pede para verificar a convergência da integral imprópria integral0^4 1x^2-4x+3,dx e, caso ela seja convergente, calcular seu valor. Vamos usar noções de integrais impróprias, pontos de descontinuidade e decomposição em frações parciais.

Passo 2

O denominador é x^2-4x+3, que fatora como (x-1)(x-3). Logo há singularidades em x=1 e x=3, ambas no intervalo de integração. Precisamos então escrever
integral0^4 1x^2-4x+3,dx = limbto1^- integral0^b dx(x-1)(x-3) + limcto1^+limdto3^-integralc^d dx(x-1)(x-3) + limeto3^+integrale^4 dx(x-1)(x-3), ,

Passo 3

Para integrar, decomponho em frações parciais:
1(x-1)(x-3) = Ax-1 + Bx-3
Multiplicando: A(x-3)+B(x-1)=1. Igualando coeficientes, obtenho A=-tfrac12 e B=+tfrac12. Assim
$$\frac{1}{x^{2}-4x+3} = -\tfrac12\frac{1}{x-1} + \tfrac12\frac{1}{x-3},.
$$

Passo 4

Uma primitiva comum é
F(x) = -tfrac12ln|x-1| + tfrac12ln|x-3| = tfrac12ln|x-3x-1|

Passo 5

Agora analisamos, por exemplo, integral0^1 dxx^2-4x+3 = limbto1^-[F(b)-F(0)]. Quando bto1^-,
b-3b-1to +infty Longrightarrow F(b)=tfrac12ln|b-3b-1| to +infty
Isso mostra que pelo menos uma das partes da integral imprópria diverge. Portanto toda a integral não converge a valor finito.

Resposta

A integral diverge e não converge a um valor finito.

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