Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
Passo 1
O problema pede para verificar a convergência da integral imprópria e, caso ela seja convergente, calcular seu valor. Vamos usar noções de integrais impróprias, pontos de descontinuidade e decomposição em frações parciais.
Passo 2
O denominador é , que fatora como . Logo há singularidades em e , ambas no intervalo de integração. Precisamos então escrever
Passo 3
Para integrar, decomponho em frações parciais:
Multiplicando: . Igualando coeficientes, obtenho e . Assim
$$\frac{1}{x^{2}-4x+3} = -\tfrac12\frac{1}{x-1} + \tfrac12\frac{1}{x-3},.
$$
Passo 4
Uma primitiva comum é
Passo 5
Agora analisamos, por exemplo, integral0^1 dxx^2-4x+3 = limbto1^-[F(b)-F(0)]. Quando bto1^-,
b-3b-1to +infty Longrightarrow F(b)=tfrac12ln|b-3b-1| to +infty
Isso mostra que pelo menos uma das partes da integral imprópria diverge. Portanto toda a integral não converge a valor finito.
Resposta
A integral diverge e não converge a um valor finito.