Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
integral0^infty 1x^2+5 x+6 d x

Passo 1

Vamos recapitular o enunciado: queremos estudar a convergência da integral imprópria
integral0^infty 1x^2+5x+6,dx
Aqui a impropriedade vem do limite superior infinito. O conteúdo principal é cálculo de integrais impróprias e uso de frações parciais.

Passo 2

Primeiro passamos pela decomposição em frações parciais. Note que
x^2+5x+6=(x+2)(x+3)
Procuramos constantes A e B tais que
1(x+2)(x+3)=Ax+2+Bx+3
Multiplicando em comum denominador e comparando coeficientes obtemos
A+B=0,
3A+2B=1
Resolvendo, A=1 e B=-1. Logo
1x^2+5x+6=1x+2-1x+3

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando integral dxx+a=ln|x+a|+C:
integral 1x^2+5x+6,dx=integrall(1x+2-1x+3r)dx=ln|x+2|-ln|x+3|+C

Passo 4

Para a integral imprópria, consideramos o limite
integral0^R1x^2+5x+6,dx=l[ln(x+2)-ln(x+3)r]0^R
Então
=lnR+2R+3-l(ln2-ln3r)
e, ao fazer Rtoinfty, temos R+2R+3to1, logo o limite vale
0-ln23=ln32
Isso mostra que a integral converge e seu valor é lntfrac32.

Resposta

lntfrac32

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