Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
Passo 1
Vamos recapitular o enunciado: queremos estudar a convergência da integral imprópria
Aqui a impropriedade vem do limite superior infinito. O conteúdo principal é cálculo de integrais impróprias e uso de frações parciais.
Passo 2
Primeiro passamos pela decomposição em frações parciais. Note que
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando em comum denominador e comparando coeficientes obtemos
Resolvendo,
e
. Logo
Passo 3
Agora integramos termo a termo usando
:
Passo 4
Para a integral imprópria, consideramos o limite
Então
e, ao fazer
, temos
, logo o limite vale
Isso mostra que a integral converge e seu valor é
.