Para achar o raio de convergência de f, aplicamos o teste da raiz:
Ele converge se |x-2|<1, então o raio é R=1.
Passo 3
O intervalo central é (2-1,2+1)=(1,3). Testando as extremidades:
Em x=3: o termo vira 1/raizn-1, e sum1/raizn-1 diverge (p-série com p=1/2).
Em x=1: o termo é (-1)^n/raizn-1, série alternada com termos decrescentes para zero, então converge condicionalmente (teste de Leibniz).
Logo o domínio de f é [1,3).
Passo 4
Derivando termo a termo (válido dentro do raio), obtemos
f'(x)=sumn=2^inftyn,(x-2)^n-1raizn-1
Passo 5
Para o raio de convergência de f’, aplicamos de novo o teste da raiz ou razão ao termo geral an'=n(x-2)^n-1/raizn-1 e chegamos novamente a R'=1.
Passo 6
Finalmente, testamos as extremidades para f’:
x=3: os termos são (n)/raizn-1, não tendem a zero, diverge.
x=1: os termos são (n)(-1)^n-1/raizn-1, o módulo cresce, diverge.
Portanto o domínio de f’ é (1,3).
Resposta
(a) Raio de convergência R=1, domínio de f é [1,3).
(b) Série de f’: