Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de con-
vergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secçäo 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); © ache o dominio de f^prime.
f(x)=sumn=2^+infty (x-2)^nraizn-1

Passo 1

A questão dá a função definida pela série de potências centrada em 2
$$
f(x)=\sum_{n=2}{\infty}\frac{(x-2)n}{
\sqrt{n-1}}
$$
E pede: (a) raio de convergência e domínio de f; (b) a série que define f’ e seu raio; © domínio de f’. Vamos usar teste da raiz (Seção 13.1) e derivação termo a termo, confirmando o Teorema 13.2.1.

Passo 2

Para achar o raio de convergência de f, aplicamos o teste da raiz:
limsupntoinftygl|(x-2)^nraizn-1gr|^1/n =|x-2|cdotlimntoinfty(n-1)^-1/(2n)=|x-2|
Ele converge se |x-2|<1, então o raio é R=1.

Passo 3

O intervalo central é (2-1,2+1)=(1,3). Testando as extremidades:
  • Em x=3: o termo vira 1/raizn-1, e sum1/raizn-1 diverge (p-série com p=1/2).
  • Em x=1: o termo é (-1)^n/raizn-1, série alternada com termos decrescentes para zero, então converge condicionalmente (teste de Leibniz).
    Logo o domínio de f é [1,3).

Passo 4

Derivando termo a termo (válido dentro do raio), obtemos
f'(x)=sumn=2^inftyn,(x-2)^n-1raizn-1

Passo 5

Para o raio de convergência de f’, aplicamos de novo o teste da raiz ou razão ao termo geral an'=n(x-2)^n-1/raizn-1 e chegamos novamente a R'=1.

Passo 6

Finalmente, testamos as extremidades para f’:
  • x=3: os termos são (n)/raizn-1, não tendem a zero, diverge.
  • x=1: os termos são (n)(-1)^n-1/raizn-1, o módulo cresce, diverge.
    Portanto o domínio de f’ é (1,3).

Resposta

(a) Raio de convergência R=1, domínio de f é [1,3).
(b) Série de f’:
f'(x)=sumn=2^inftyn,(x-2)^n-1raizn-1,
com raio de convergência R'=1.
© Domínio de f’ é (1,3).

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