Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
integral-infty^-2 1(3 x+6)^2 d x

Passo 1

A integral é do tipo impróprio porque o intervalo vai de x\to -\infty até x=-2, onde o denominador zera. O conteúdo envolve integrais impróprias, teste p e análise de singularidade.

Passo 2

Precisamos checar dois comportamentos: quando x\to -\infty e quando x\to -2^- . Vamos reescrever formalmente como limite:
integral-infty^-21(3x+6)^2dx = limAto -inftylimBto -2^-integralA^B1(3x+6)^2dx

Passo 3

Para x muito negativo, 3x+6\approx 3x, então
1(3x+6)^2approx19x^2
Como em
integral-infty^C1x^2dx
o expoente p=2>1 garante convergência no infinito, a parte na vizinhança de -\infty converge.

Passo 4

Agora analisa-se a vizinhança de x=-2. Faça t=x+2, então t\to0^- e dx=dt. A integral local fica
integral-de
Porém
integral-de
pois p=2\ge1 implica divergência na singularidade.

Passo 5

Como diverge na aproximação de x=-2, a integral imprópria completa diverge.

Resposta

A integral diverge.

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