Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de con-
vergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secçäo 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); © ache o dominio de f^prime.
f(x)=sumn=1^+infty(-1)^n-1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

Neste exercício temos a função definida pela série de potências
f(x)=sumn=1^+infty(-1)^n-1x^2n-1(2n-1)!
O conteúdo aqui é cálculo de raio de convergência usando o teste da razão e diferenciação termo a termo de séries de potências (Teorema 13.2.1).

Passo 2

Para achar o raio de convergência de f usamos o teste da razão: seja
a_n = (-1){n-1}x{2n-1}/(2n-1)!. Então
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x^2(n+1)-1/(2(n+1)-1)!x^2n-1/(2n-1)!| =limntoinfty|x^2(2n+1)(2n)| =0
Como esse limite é zero para todo x, o raio de convergência é infinito (R=+∞) e, portanto, o domínio de f é todo R.

Passo 3

Derivando termo a termo (válido dentro do raio de convergência), cada termo x^2n-1 gera (2n-1)x^2n-2, então
f'(x)=sumn=1^+infty(-1)^n-1(2n-1)x^2n-2(2n-1)! =sumn=1^+infty(-1)^n-1x^2n-2(2n-2)!
Reindexando com k=n-1 obtemos
f'(x)=sumk=0^+infty(-1)^kx^2k(2k)!,
que é justamente a série de potências de cos x. Aplicando de novo o teste da razão ao termo bk=(-1)^k x^2k/(2k)! chega-se ao mesmo limite zero. Logo o raio de convergência de f’ também é +∞ e seu domínio é todo R.

Resposta

(a) R=+∞, domínio de f: R. (b) Série de f’: f'(x)=sumk=0^+infty(-1)^kx^2k(2k)!, raio de convergência R’=+∞. © Domínio de f’: R.

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