Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de con-
vergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função
e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secçäo 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); © ache o dominio de
.
vergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função
Passo 1
Neste exercício temos a função definida pela série de potências
O conteúdo aqui é cálculo de raio de convergência usando o teste da razão e diferenciação termo a termo de séries de potências (Teorema 13.2.1).
Passo 2
Para achar o raio de convergência de f usamos o teste da razão: seja
a_n = (-1){n-1}x{2n-1}/(2n-1)!. Então
a_n = (-1){n-1}x{2n-1}/(2n-1)!. Então
Como esse limite é zero para todo x, o raio de convergência é infinito (R=+∞) e, portanto, o domínio de f é todo
R .
Passo 3
Derivando termo a termo (válido dentro do raio de convergência), cada termo
x^2n-1 gera
(2n-1)x^2n-2 , então
Reindexando com
k=n-1 obtemos
que é justamente a série de potências de
cos x . Aplicando de novo o teste da razão ao termo
bk=(-1)^k x^2k/(2k)! chega-se ao mesmo limite zero. Logo o raio de convergência de f’ também é +∞ e seu domínio é todo
R .
Resposta
(a) R=+∞, domínio de f:
R . (b) Série de f’:
f'(x)=sumk=0^+infty(-1)^kx^2k(2k)! , raio de convergência R’=+∞. © Domínio de f’:
R .