Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
Passo 1
O enunciado pede para a gente verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. O conteúdo aqui envolve integrais impróprias de dois tipos: descontinuidade em
(já que o integrando explode) e limite infinito em
. Para resolver, vamos dividir em duas partes e usar o critério das integrais do tipo
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a integral como soma de duas integrals impróprias ao redor de
:
Definimos então
Passo 3
Para ver se cada uma converge, lembramos do critério de p-integral junto a zero:
Aqui temos
, então já de cara a peça
diverge (o mesmo vale para
próximo de zero, mas basta uma delas divergir).
Passo 4
Como uma das partes diverge, a integral original também diverge. Não precisamos nem calcular valores numéricos, pois basta que ao menos um dos limites não seja finito.
Resposta final: a integral é divergente.
Resposta final: a integral é divergente.
Resposta
A integral diverge.