Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
integral-2^infty 1x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar se a integral imprópria integral-2^infty1x^4,dx converge ou diverge. O conteúdo aqui envolve integrais impróprias de dois tipos: descontinuidade em x=0 (já que o integrando explode) e limite infinito em xtoinfty. Para resolver, vamos dividir em duas partes e usar o critério das integrais do tipo integral x^-p,dx.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral como soma de duas integrals impróprias ao redor de x=0:
integral-2^inftydxx^4 = integral-2^0dxx^4 + integral0^inftydxx^4
Definimos então
I1=limato0^-integral-2^ax^-4,dx, I2=limcto0^+integralc^inftyx^-4,dx

Passo 3

Para ver se cada uma converge, lembramos do critério de p-integral junto a zero:
integral0^de= se p<1 e diver>= se p>=1
Aqui temos p=4>1, então já de cara a peça I1=integral-2^0x^-4,dx diverge (o mesmo vale para I2 próximo de zero, mas basta uma delas divergir).

Passo 4

Como uma das partes diverge, a integral original também diverge. Não precisamos nem calcular valores numéricos, pois basta que ao menos um dos limites não seja finito.
Resposta final: a integral é divergente.

Resposta

A integral diverge.

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