Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
integral1^infty 1x cdot(ln x)^2 d x

Passo 1

A gente tem a integral imprópria
integral1^infty 1x,(ln x)^2,dx
ela é imprópria porque em x=1 o denominador fica zero ( ln1=0) e também por causa do limite superior infinito. Vamos usar o conteúdo de integrais impróprias e substituição para ver se ela converge.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral como limite em dois pontos críticos: o inferior e o superior. Assim, definimos
I = limato1^+limbtoinfty integrala^b 1x,(ln x)^2,dx
Isso mostra que precisamos estudar o comportamento em x próximo de 1 e em x grande.

Passo 3

Para resolver a integral propriamente dita, usamos a substituição u=ln x. Então du=tfrac1xdx, e quando x varia de a até b, u varia de ln a até ln b. A integral vira
integrala^b 1x,(ln x)^2,dx = integralln a^ln b 1u^2,du
A antiderivada de u^-2 é -u^-1, logo obtemos
$$
\int_{\ln a}^{\ln b} u^{-2},du = \Bigl[-\frac{1}{u}\Bigr]_{\ln a}^{\ln b} = -\frac{1}{\ln b} + \frac{1}{\ln a}.$$

Passo 4

Agora olhamos os limites: quando btoinfty, temos ln btoinfty e assim -1/ln bto0. Mas quando ato1^+, ln ato0^+ e 1/ln ato+infty. Ou seja, a contribuição do limite inferior explode, fazendo I divergir.

Passo 5

Como o limite inferior manda a integral para infinito, concluímos que ela não converge. Mesmo que no infinito superior ela fosse bem-comportada, o comportamento em x=1 faz a integral divergir.

Resposta

A integral diverge.

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