Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
Passo 1
A gente tem a integral imprópria
ela é imprópria porque em x=1 o denominador fica zero (
Passo 2
Primeiro, escrevemos a integral como limite em dois pontos críticos: o inferior e o superior. Assim, definimos
Isso mostra que precisamos estudar o comportamento em x próximo de 1 e em x grande.
Passo 3
Para resolver a integral propriamente dita, usamos a substituição
. Então
, e quando x varia de a até b, u varia de
até
. A integral vira
A antiderivada de
é
, logo obtemos
$$
\int_{\ln a}^{\ln b} u^{-2},du = \Bigl[-\frac{1}{u}\Bigr]_{\ln a}^{\ln b} = -\frac{1}{\ln b} + \frac{1}{\ln a}.$$
Passo 4
Agora olhamos os limites: quando
, temos
e assim
. Mas quando
,
e
. Ou seja, a contribuição do limite inferior explode, fazendo I divergir.
Passo 5
Como o limite inferior manda a integral para infinito, concluímos que ela não converge. Mesmo que no infinito superior ela fosse bem-comportada, o comportamento em x=1 faz a integral divergir.
Resposta
A integral diverge.