Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
integral-1^2 4x^2-4 d x

Passo 1

Temos a integral imprópria integral-1^24x^2-4,dx. O conteúdo envolve integrais impróprias com singularidade no denominador e vamos precisar analisar se o limite existe.

Passo 2

Note que há uma descontinuidade em x=2, que é o limite superior. Então reescrevemos a integral como limite: integral-1^24x^2-4,dx=limbto2^-integral-1^b4x^2-4,dx.

Passo 3

Fazendo frações parciais para simplificar o integrando, escrevemos:
4x^2-4=4(x-2)(x+2)=1x-2-1x+2

Passo 4

Integrando termo a termo, obtemos o antiderivado
integral4x^2-4,dx=integral1x-2,dx-integral1x+2,dx=ln|x-2|-ln|x+2|+C

Passo 5

Avaliamo-lo no limite bto2^-:
I=limbto2^-l[ln|b-2|-ln|b+2|r]-l[ln|-1-2|-ln|-1+2|r]
Aqui ln|b-2|to-infty quando bto2^-, enquanto a parte em x=-1 é finita ( ln3). Portanto o limite diverge para -infty, e a integral não converge.

Resposta

A integral diverge.

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