Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de con-
vergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secçäo 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); © ache o dominio de f^prime.
f(x)=sumn=0^+infty x^2 n(n!)^2

Passo 1

O enunciado dá a função por uma série de potências
f(x)=sumn=0^+inftyx^2n(n!)^2
Pede (a) raio de convergência e domínio de f, (b) escrever a série de potências de f' e achar seu raio de convergência, e © domínio de f'. Para isso vamos usar o teste da razão e a regra de derivação termo a termo de séries de potências.

Passo 2

Para achar o raio de convergência de f, aplicamos o teste da razão ao termo geral an=x^2n(n!)^2. Calculamos
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty|x|^2(n+1)/((n+1)!)^2|x|^2n/(n!)^2=limntoinftyx^2(n+1)^2=0
Como o limite é zero (menor que 1) para todo x, o raio de convergência é R=+infty.

Passo 3

Como a série converge para todo xin R, o domínio de f é o intervalo
(-infty,+infty).

Passo 4

Derivando termo a termo, para n>=1 temos
ddxl(x^2n(n!)^2r)=2n,x^2n-1(n!)^2
Logo
$$f’(x)=\sum_{n=1}{+\infty}\frac{2n,x{2n-1}}{(n!)^2}.
$$Para simplificar, podemos reindexar com f'(x)=sumn=1^+infty2n,x^2n-1(n!)^2 :
k=n-1

Passo 5

Aplicando o teste da razão na série de f' (por exemplo ao termo bk=2x^2k+1/(k!(k+1)!)), obtemos
limktoinfty|bk+1bk|=limktoinftyx^2(k+2)(k+1)=0<1
para todo x. Assim o raio de convergência de f' também é R'=+infty.

Passo 6

Como a derivada converge para todo real, o domínio de f' é também o intervalo
(-infty,+infty).

Resposta

(a) Raio de convergência R=+infty, domínio R.
(b) f'(x)=sumn=1^infty2n,x^2n-1(n!)^2=2sumk=0^inftyx^2k+1k!,(k+1)!, com raio de convergência R'=+infty.
© Domínio de f' é R.

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