Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de con-
vergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função
e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secçäo 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); © ache o dominio de
.
vergência da série de potências dada e o domínio de f; (b) escreva a série de potências que define a função
Passo 1
O enunciado dá a função por uma série de potências
Pede (a) raio de convergência e domínio de
Passo 2
Para achar o raio de convergência de
, aplicamos o teste da razão ao termo geral
. Calculamos
Como o limite é zero (menor que 1) para todo
Passo 3
Como a série converge para todo
xin R , o domínio de
f é o intervalo
(-infty,+infty) .
Passo 4
Derivando termo a termo, para
n>=1 temos
Logo
$$f’(x)=\sum_{n=1}{+\infty}\frac{2n,x{2n-1}}{(n!)^2}.
$$Para simplificar, podemos reindexar com
f'(x)=sumn=1^+infty2n,x^2n-1(n!)^2 :
Passo 5
Aplicando o teste da razão na série de
f' (por exemplo ao termo
bk=2x^2k+1/(k!(k+1)!) ), obtemos
para todo
Passo 6
Como a derivada converge para todo real, o domínio de
f' é também o intervalo
(-infty,+infty) .
Resposta
(a) Raio de convergência
R=+infty , domínio
R .
(b)f'(x)=sumn=1^infty2n,x^2n-1(n!)^2=2sumk=0^inftyx^2k+1k!,(k+1)!, com raio de convergência
R'=+infty .
© Domínio def' é
R .
(b)
© Domínio de