Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{1}^{5} \frac{1}{\sqrt{5-x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
I=\int_{1}^{5}\frac{1}{\sqrt{5-x}}\;dx
e, caso ela converja, encontrar seu valor. O ponto crítico é x=5, onde o denominador se anula, gerando singularidade do tipo \tfrac{1}{\sqrt{5-x}}.

Passo 2

Para tratar a singularidade no limite superior, escrevemos a integral como limite:
I = \lim_{b\to5^-}\int_{1}^{b}\frac{1}{\sqrt{5-x}}\;dx.

Passo 3

Precisamos de uma antiderivada de \frac{1}{\sqrt{5-x}}. Fazendo a substituição u=5-x, du=-dx, temos
\int\frac{1}{\sqrt{5-x}}\;dx =\int u^{-\tfrac12}(-du) =-2\,u^{\tfrac12}+C =-2\sqrt{5-x}+C.
Logo,
\int_{1}^{b}\frac{1}{\sqrt{5-x}}\;dx =\Bigl[-2\sqrt{5-x}\Bigr]_{x=1}^{x=b} =-2\sqrt{5-b}+2\sqrt{5-1} =-2\sqrt{5-b}+4.

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando b\to5^-:
I = \lim_{b\to5^-}\bigl(-2\sqrt{5-b}+4\bigr) = -2\cdot 0 + 4 =4.
Como o limite é finito, a integral converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é 4.

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