Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
e, caso ela converja, encontrar seu valor. O ponto crítico é
, onde o denominador se anula, gerando singularidade do tipo
.
Passo 2
Para tratar a singularidade no limite superior, escrevemos a integral como limite:
Passo 3
Precisamos de uma antiderivada de
. Fazendo a substituição
,
, temos
Logo,
Passo 4
Agora avaliamos o limite quando
:
Como o limite é finito, a integral converge.
Resposta
A integral converge e seu valor é
.