Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=I=\int_{-\infty}^{0} x e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria \displaystyle I=\int_{-\infty}^{0} x\,e^{2x}\,dx.
O conteúdo é integral imprópria em intervalo infinito; precisamos testar convergência e, se convergente, calcular o valor.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite
\int_{-\infty}^{0} x e^{2x} dx = \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} x e^{2x} dx.
Se esse limite existir finito, a integral converge.

Passo 3

Para calcular \int x e^{2x}dx, usamos integração por partes.
Escolhendo
u = x,\quad dv = e^{2x}dx \quad\Longrightarrow\quad du = dx,\quad v = \tfrac12 e^{2x},
temos
\int x e^{2x}dx = uv - \int v\,du = \frac12 x e^{2x} - \int \frac12 e^{2x}dx = \frac12 x e^{2x} - \frac14 e^{2x} + C.

Passo 4

Substituindo nos limites de a a 0,
\int_{a}^{0} x e^{2x}dx = \Bigl[\tfrac12 x e^{2x} - \tfrac14 e^{2x}\Bigr]_{x=a}^{x=0} = \Bigl(\tfrac12\cdot0\cdot e^{0} - \tfrac14 e^{0}\Bigr) - \Bigl(\tfrac12 a e^{2a} - \tfrac14 e^{2a}\Bigr).

Passo 5

Avaliamo o limite a\to -\infty:
– No numerador em x=0 vem \tfrac12\cdot0 - \tfrac14 = -\tfrac14.
– No ponto x=a, quando a\to -\infty, temos
\tfrac12\,a\,e^{2a}\;\to\;0 \quad\text{e}\quad \tfrac14\,e^{2a}\;\to\;0
pois e^{2a} decai exponencialmente mais rápido que a cresce.
Logo
\int_{-\infty}^{0} x e^{2x}dx = \lim_{a\to -\infty} \Bigl(-\tfrac14 - 0\Bigr) = -\tfrac14.

Resposta

A integral converge e seu valor é -\tfrac14.

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