Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria
.
O conteúdo é integral imprópria em intervalo infinito; precisamos testar convergência e, se convergente, calcular o valor.
O conteúdo é integral imprópria em intervalo infinito; precisamos testar convergência e, se convergente, calcular o valor.
Passo 2
Escrevemos a integral como limite
Se esse limite existir finito, a integral converge.
Passo 3
Para calcular
, usamos integração por partes.
Escolhendo
Escolhendo
temos
Passo 4
Substituindo nos limites de
a
,
Passo 5
Avaliamo o limite
:
– No numerador em vem
.
– No ponto , quando
, temos
– No numerador em
– No ponto
pois
decai exponencialmente mais rápido que
cresce.
Logo
Logo
Resposta
A integral converge e seu valor é
.