Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-|x-4|} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
I = \int_{-\infty}^{+\infty} x\,e^{-|x-4|}\,dx
é convergente e, em caso afirmativo, calcular seu valor. O conteúdo principal aqui é lidar com integrais impróprias em \pm\infty e tratar o valor absoluto |x-4| dividindo a integral em duas partes contínuas.

Passo 2

Vamos quebrar a integral em x<4 e x>4, pois
|x-4| = \begin{cases} 4 - x, & x\le4,\\\ x - 4, & x\ge4. \end{cases}
Então
I = \int_{-\infty}^{4} x\,e^{-(4 - x)}\,dx \;+\;\int_{4}^{\infty} x\,e^{-(x - 4)}\,dx.
Simplificando os exponenciais:
\int_{-\infty}^{4} x\,e^{-4}e^{x}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{4}^{\infty} x\,e^{4}e^{-x}\,dx.

Passo 3

Calcular a primeira parte
A = \int_{-\infty}^{4} x\,e^{x}\,dx.
Uma primitiva de x\,e^{x} é (x-1)e^{x}. Logo
A = \bigl[(x-1)e^{x}\bigr]_{-\infty}^{4} = (4-1)e^{4} - \lim_{t\to-\infty}(t-1)e^{t} = 3e^{4} - 0 = 3e^{4}.
Portanto a contribuição é e^{-4}A = e^{-4}\cdot3e^{4} = 3.

Passo 4

Calcular a segunda parte
B = \int_{4}^{\infty} x\,e^{-x}\,dx.
Uma primitiva de x\,e^{-x} é - (x+1)e^{-x}. Logo
B = \bigl[-(x+1)e^{-x}\bigr]_{4}^{\infty} = 0 - \bigl[-(4+1)e^{-4}\bigr] = 5e^{-4}.
A contribuição é e^{4}B = e^{4}\cdot5e^{-4} = 5.

Passo 5

Somando as duas partes, a integral converge e vale
I = 3 + 5 = 8.

Resposta

I é convergente e I = 8.

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