Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria \r
e, se convergente, calcular seu valor. O conteúdo principal é o uso de antiderivada (por partes) e limite no infinito para verificar convergência.
Passo 2
Escrevemos a integral como limite:\r
Passo 3
Para calcular
, usamos integração por partes escolhendo\r
então\r
Logo,\r
Mais uma vez integrando,\r
temos\r
Passo 4
Aplicando o resultado ao intervalo
:\r
No termo em
vem\r
Portanto\r
Passo 5
Tomamos o limite
. Como
, conclui-se que a integral converge e\r
Resposta
A integral converge e seu valor é \r