Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes. Em caso de convergência, determine o valor para o qual a integral converge:
I=\int_{-1}^{+\infty} x e^{-3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria \r
\int_{-1}^{+\infty} x e^{-3x}\,\mathrm{d}x\r
e, se convergente, calcular seu valor. O conteúdo principal é o uso de antiderivada (por partes) e limite no infinito para verificar convergência.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite:\r
\int_{-1}^{+\infty} x e^{-3x}\,\mathrm{d}x = \lim_{b\to+\infty} \int_{-1}^{b} x e^{-3x}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int x e^{-3x}\,\mathrm{d}x, usamos integração por partes escolhendo\r
u = x,\quad \mathrm{d}v = e^{-3x}\,\mathrm{d}x\r
então\r
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x,\quad v = \int e^{-3x}\,\mathrm{d}x = -\tfrac{1}{3}e^{-3x}.\r
Logo,\r
\int x e^{-3x}\,\mathrm{d}x = uv - \int v\,\mathrm{d}u = -\tfrac{x e^{-3x}}{3} - \int\bigl(-\tfrac{1}{3}e^{-3x}\bigr)\,\mathrm{d}x = -\tfrac{x e^{-3x}}{3} + \tfrac{1}{3}\int e^{-3x}\,\mathrm{d}x.\r
Mais uma vez integrando,\r
\int e^{-3x}\,\mathrm{d}x = -\tfrac{1}{3}e^{-3x},\r
temos\r
\int x e^{-3x}\,\mathrm{d}x = -\tfrac{x e^{-3x}}{3} - \tfrac{1}{9}e^{-3x} + C = -\frac{e^{-3x}(3x+1)}{9} + C.

Passo 4

Aplicando o resultado ao intervalo [-1,b]:\r
\int_{-1}^{b} x e^{-3x}\,\mathrm{d}x = \Bigl[-\frac{e^{-3x}(3x+1)}{9}\Bigr]_{x=-1}^{x=b} = -\frac{e^{-3b}(3b+1)}{9} - \Bigl(-\frac{e^{3}(3(-1)+1)}{9}\Bigr).\r
No termo em x=-1 vem\r
-\frac{e^{3}(3(-1)+1)}{9} = -\frac{e^{3}(-2)}{9} = \frac{2e^{3}}{9}.\r
Portanto\r
\int_{-1}^{b} x e^{-3x}\,\mathrm{d}x = -\frac{e^{-3b}(3b+1)}{9} - \frac{2e^{3}}{9}.

Passo 5

Tomamos o limite b\to+\infty. Como e^{-3b}(3b+1)\to0, conclui-se que a integral converge e\r
\int_{-1}^{+\infty} x e^{-3x}\,\mathrm{d}x = \lim_{b\to+\infty}\Bigl(-\frac{e^{-3b}(3b+1)}{9} - \frac{2e^{3}}{9}\Bigr) = -\frac{2e^{3}}{9}.

Resposta

A integral converge e seu valor é \r
-\frac{2e^{3}}{9}.

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