Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por
milhares de metros cúbicos, onde
é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço, supondo que o gás seja inesgotável.
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Passo 1
O enunciado dá a taxa de produção de gás natural
em milhares de metros cúbicos por unidade de tempo, para
. Pergunta a quantidade total extraível supondo produção indefinida. O conteúdo é cálculo de integral imprópria de função exponencial, e vamos precisar:
- Escrever a quantidade total
como
- Calcular essa integral usando a antiderivada de
.
Passo 2
Escrevemos a quantidade total de gás extraído, em milhares de metros cúbicos, como a integral imprópria
Passo 3
Encontramos a antiderivada de
. Como
temos
Passo 4
Agora avaliamos o limite impróprio:
Como
quando
, resta
Resposta
A quantidade total de gás extraível é
milhares de metros cúbicos.