Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes.
pontos
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema pede e o que temos: calcular a integral imprópria
Informações relevantes:
- O intervalo de integração é
, portanto a integral é imprópria por causa do limite no infinito. - A função integranda é
, que é contínua e positiva em . A convergência será verificada calculando o limite do integral definido até quando .
Passo 2
Lembrete formal sobre integrais impróprias: definir
quando esse limite existir e for finito. Vou, portanto, calcular
.
Passo 3
Escolho a substituição clássica para termos
aparecendo como diferencial: defina
Então
Ao mudar os limites: quando
tem-se
; quando
tem-se
. Assim, para
,
Passo 4
Calculo a primitiva de
: sabemos que, para
,
Logo,
Passo 5
Avalio o termo entre colchetes e faço o limite
:
Agora tomo
. O termo
, então
Passo 6
Interpretação: o limite é finito e igual a
. Portanto a integral imprópria converge e seu valor é
.
Dica extra rápida (opcional): por comparação assintótica, para
grande tem-se
e como
converge, isso também indica convergência da integral original.
Resposta
Convergente;