Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes.
(2 pontos ) \int_{1}^{+\infty} \frac{x d x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e o que temos: calcular a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{x\,dx}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
Informações relevantes:
  • O intervalo de integração é [1,\infty), portanto a integral é imprópria por causa do limite no infinito.
  • A função integranda é \displaystyle f(x)=\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}, que é contínua e positiva em [1,\infty). A convergência será verificada calculando o limite do integral definido até b quando b\to\infty.

Passo 2

Lembrete formal sobre integrais impróprias: definir
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} f(x)\,dx,
quando esse limite existir e for finito. Vou, portanto, calcular \displaystyle \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.

Passo 3

Escolho a substituição clássica para termos x\,dx aparecendo como diferencial: defina
u = x^{2}+1.
Então
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Ao mudar os limites: quando x=1 tem-se u=1^{2}+1=2; quando x=b tem-se u=b^{2}+1. Assim, para b>1,
\int_{1}^{b}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int_{2}^{b^{2}+1} u^{-2}\,du.

Passo 4

Calculo a primitiva de u^{-2}: sabemos que, para u\neq0,
\int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C.
Logo,
\frac{1}{2}\int_{2}^{b^{2}+1} u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\bigl[-u^{-1}\bigr]_{2}^{b^{2}+1}.

Passo 5

Avalio o termo entre colchetes e faço o limite b\to\infty:
\frac{1}{2}\bigl[-u^{-1}\bigr]_{2}^{b^{2}+1} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{b^{2}+1} -\bigl(-\frac{1}{2}\bigr)\right) = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{2}\right).
Agora tomo b\to\infty. O termo \dfrac{1}{b^{2}+1}\to 0, então
\lim_{b\to\infty}\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

Passo 6

Interpretação: o limite é finito e igual a \tfrac{1}{4}. Portanto a integral imprópria converge e seu valor é \tfrac{1}{4}.
Dica extra rápida (opcional): por comparação assintótica, para x grande tem-se \dfrac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\sim \dfrac{1}{x^{3}} e como \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{3}}\,dx converge, isso também indica convergência da integral original.

Resposta

Convergente; \displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{x\,dx}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1}{4}

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