Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
Ou seja, encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial para todo e que toma o valor em .
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: subtraio
dos dois lados e obtenho
Essa é da forma
com
e
. Um método eficiente aqui é o fator integrante (integrating factor), porque transforma a equação numa derivada de produto que dá para integrar diretamente. Vou explicar o que é e por que funciona no próximo passo.
Passo 3
Conceito do fator integrante: se tivermos
, escolhemos um fator
tal que
satisfaça
ou seja
. Com esse
vale a identidade
Assim a equação original multiplica por
e vira uma derivada que podemos integrar facilmente.
Passo 4
Calculo o fator integrante usando
:
Passo 5
Multiplico a equação original por
. Pela propriedade do passo anterior fica
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora calculo a integral
. Faço a substituição
, então
e
. Assim
Portanto posso escrever (absorvendo constantes)
Passo 7
Isolo
multiplicando por
:
Isso já é a solução geral da equação diferencial linear encontrada.
Passo 8
Agora imposto a condição inicial
. Substituo
em
:
Resolvo para
:
Passo 9
Substituo
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Passo 10
Verificação rápida (para me deixar confiante): calcule
a partir da solução encontrada. Temos
Por outro lado,
Como
, a solução confirma a equação diferencial e também satisfaz
.