Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime}(t)=2 t y(t)+t, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial:
  • Equação: y'(t)=2t\,y(t)+t.
  • Condição inicial: y(0)=1.
    Ou seja, encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para todo t e que toma o valor 1 em t=0.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: subtraio 2t\,y(t) dos dois lados e obtenho
y'(t)-2t\,y(t)=t.
Essa é da forma y'(t)+p(t)\,y(t)=g(t) com p(t)=-2t e g(t)=t. Um método eficiente aqui é o fator integrante (integrating factor), porque transforma a equação numa derivada de produto que dá para integrar diretamente. Vou explicar o que é e por que funciona no próximo passo.

Passo 3

Conceito do fator integrante: se tivermos y'+p(t)y=g(t), escolhemos um fator \mu(t) tal que \mu(t) satisfaça
\mu'(t)=\mu(t)\,p(t),
ou seja \mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big). Com esse \mu vale a identidade
\big(\mu(t)\,y(t)\big)'=\mu(t)\,y'(t)+\mu'(t)\,y(t)=\mu(t)\big(y'(t)+p(t)y(t)\big)=\mu(t)\,g(t).
Assim a equação original multiplica por \mu e vira uma derivada que podemos integrar facilmente.

Passo 4

Calculo o fator integrante usando p(t)=-2t:
\mu(t)=\exp\!\Big(\int -2t\,dt\Big)=\exp\!\big(-t^{2}\big)=e^{-t^{2}}.

Passo 5

Multiplico a equação original por \mu(t)=e^{-t^{2}}. Pela propriedade do passo anterior fica
\big(e^{-t^{2}}\,y(t)\big)'=e^{-t^{2}}\cdot t.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a t:
e^{-t^{2}}\,y(t)=\int t\,e^{-t^{2}}\,dt + C,
onde C é constante de integração. Agora calculo a integral \int t\,e^{-t^{2}}\,dt. Faço a substituição u=-t^{2}, então du=-2t\,dt e t\,dt=-\tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int t\,e^{-t^{2}}\,dt=-\tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du=-\tfrac{1}{2}e^{u}+{\rm const}=-\tfrac{1}{2}e^{-t^{2}}+{\rm const}.
Portanto posso escrever (absorvendo constantes)
e^{-t^{2}}\,y(t)=-\tfrac{1}{2}e^{-t^{2}}+C.

Passo 7

Isolo y(t) multiplicando por e^{t^{2}}:
y(t)=-\tfrac{1}{2}+C\,e^{t^{2}}.
Isso já é a solução geral da equação diferencial linear encontrada.

Passo 8

Agora imposto a condição inicial y(0)=1. Substituo t=0 em y(t):
1=y(0)=-\tfrac{1}{2}+C\,e^{0}=-\tfrac{1}{2}+C.
Resolvo para C:
C=1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.

Passo 9

Substituo C=\tfrac{3}{2} na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(t)=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}\,e^{t^{2}}.

Passo 10

Verificação rápida (para me deixar confiante): calcule y'(t) a partir da solução encontrada. Temos
y'(t)=\tfrac{3}{2}\cdot 2t\,e^{t^{2}}=3t\,e^{t^{2}}.
Por outro lado,
2t\,y(t)+t=2t\Big(-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}e^{t^{2}}\Big)+t=-t+3t\,e^{t^{2}}+t=3t\,e^{t^{2}}.
Como y'(t)=3t\,e^{t^{2}}=2t\,y(t)+t, a solução confirma a equação diferencial e também satisfaz y(0)=1.

Resposta

y(t)=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}\,e^{t^{2}}.

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