- Questão 4 (2.5 pontos) Considere a função
a) (1.5 ponto) Calcule a transformada inversa
.
b) (1.0 ponto) Calcule as transformadas de Fourier das funções
e
.
b) (1.0 ponto) Calcule as transformadas de Fourier das funções
Passo 1
O enunciado nos dá a função de frequência
e pede duas coisas:
- (a) Calcular a transformada inversa
. - (b) Calcular as transformadas de Fourier das funções
e .
Informações relevantes fornecidas:
- A função de frequência é
(aqui é o seno). - Não há outra informação explícita sobre convenções; teremos que adotar uma convenção padrão de transformada de Fourier para fazer as contas.
Passo 2
Primeiro preciso fixar a convenção de transformada de Fourier que vou usar — isto é essencial para não confundir fatores
. Vou usar a convenção padrão em muitas disciplinas de análise:
e a transformada inversa correspondente
Aqui:
-
é a variável do domínio temporal (real), -
é a variável da frequência angular (real), -
é a unidade imaginária, -
é a transformada de .
Explicando em palavras: a transformada direta pega
e integra contra
; a inversa recupera
integrando
contra
e multiplicando por
.
Passo 3
Estratégia para (a): em vez de tentar avaliar a integral inversa complicada diretamente, vou reconhecer
como a transformada direta de alguma função tempo‑domínio simples. Se eu encontrar
tal que
então essa
é justamente a
.
Uma função que costuma aparecer aqui é a função indicadora (retângulo) no tempo, porque a transformada de um retângulo é uma sinc. Vou testar a função
onde
vale
se
e
caso contrário. (Nos pontos de fronteira
pode-se tomar valor
por convenção, isso não altera a transformada.)
Passo 4
Calcular a transformada direta de
passo a passo para ver se dá
.
Pela definição,
Executando a integral (integral de exponencial):
Portanto
Isto bate exatamente com
dado no enunciado. Logo a inversa é
Interpretação intuitiva: a função tempo‑domínio é um retângulo de amplitude
e largura
centrado em zero; sua transformada é a função sinc
.
Passo 5
Vou escrever a resposta de (a) de forma clara e depois partir para (b). Resultado de (a):
(Nos pontos
pode-se atribuir
por convenção de continuidade, mas isso não altera a transformada.)
Agora para (b) precisamos usar propriedades básicas da transformada de Fourier. Vou apresentar cada propriedade (com explicação curta) e em seguida aplicar.
Propriedades que vou usar (todas válidas com a convenção adotada):
- Deslocamento no tempo (time shift): se
, então
Explicação rápida: deslocar a função em
multiplica sua transformada por um fator complexo de fase.
- Distorção/escala no tempo (time scaling): se
com real, então
Explicação: comprimir no tempo (a grande) estica em frequência e surge o fator
para conservar energia/normalização.
- Multiplicação por exponencial real (modulação com crescimento exponencial): se
e é real, então
ou seja, a transformada é a extensão analítica de
avaliada em
. Explicando: multiplicar por
corresponde a deslocar o argumento da função de frequência na direção imaginária, porque
(Como
tem suporte compacto aqui, essa mudança de variável complexa é legítima.)
Vou aplicar essas propriedades com
,
e
.
Passo 6
Aplicação das propriedades aos casos pedidos.
(a) Já respondido: vou repetir com notação final.
(b.1) Para
. Usando a propriedade 3 com
,
Como
, substituindo o argumento complexo obtemos
(Observação: pode-se expandir
em termos de seno e coseno hiperbólico se quiser uma forma com partes reais e imaginárias:
mas não é obrigatório simplificar mais.)
(b.2) Para
. Usando a propriedade 1 com
,
Portanto
(b.3) Para
. Usando a propriedade 2 com
,
Simplificando a fração: