Resolva:
(e) \{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}-9 y=0 \\\ y(1)=1 \\\ y^{\prime}(1)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(x)\) que satisfaz o problema de valor inicial abaixo: \[\begin{cases} y'' + 8y' - 9y = 0,\\[4pt] y(1)=1,\\[4pt] y'(1)=0. \end{cases}
Informações dadas:
  • A equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes é \,y''+8y'-9y=0.\] - Condições iniciais: \(y(1)=1 e y'(1)=0.
    - O objetivo é determinar y(x) para todo x (a solução que satisfaz as condições em x=1).]

Passo 2

Idéia do método (explicação didática):
  • Para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, costuma-se procurar soluções da forma \,y(x)=e^{r x}.
  • Isso funciona porque, ao derivar, aparecem fatores r que transformam a equação diferencial numa equação polinomial em r (a chamada equação característica). Vou mostrar isso passo a passo.
Substituindo y=e^{r x} em \,y''+8y'-9y=0 temos:
y' = r e^{r x},\qquad y''=r^2 e^{r x}.
Substituindo na equação:
r^2 e^{r x} + 8 r e^{r x} - 9 e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq 0, pode-se dividir por e^{r x} e obter a equação característica:
r^2 + 8r - 9 = 0.

Passo 3

Resolver a equação característica (passo a passo):
  • Calcular o discriminante:
\Delta = 8^2 - 4\cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100.
  • Raízes:
r = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 \pm 10}{2}.
Portanto as raízes são
r_1 = \frac{-8+10}{2} = 1,\qquad r_2 = \frac{-8-10}{2} = -9.
Como as raízes são reais e distintas, a forma geral da solução da equação homogênea é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{x} + C_2 e^{-9x},
onde C_1 e C_2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Derivar a solução geral para usar a condição sobre y':
  • A derivada de y é, aplicando a regra da derivada de exponencial:
y'(x) = C_1 e^{x} + C_2(-9)e^{-9x} = C_1 e^{x} - 9 C_2 e^{-9x}.
Explicando a conta: derivada de C_1 e^{x} é C_1 e^{x}; derivada de C_2 e^{-9x} é C_2\cdot(-9)e^{-9x}.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais em x=1 e resolver para C_1 e C_2:
  • Da condição y(1)=1:
C_1 e^{1} + C_2 e^{-9} = 1.
  • Da condição y'(1)=0:
C_1 e^{1} - 9 C_2 e^{-9} = 0.
Chamo para facilitar A=e^{1} e B=e^{-9}. As equações ficam
C_1 A + C_2 B = 1,\qquad C_1 A - 9 C_2 B = 0.
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar C_1 A:
(C_1 A + C_2 B) - (C_1 A - 9 C_2 B) = 1 - 0
10 C_2 B = 1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac{1}{10B}.
Voltando B=e^{-9} obtemos
C_2 = \frac{1}{10 e^{-9}} = \frac{e^{9}}{10}.
Agora usar a segunda equação C_1 A - 9 C_2 B = 0. Note que C_2 B = \dfrac{e^{9}}{10}\cdot e^{-9} = \dfrac{1}{10}. Então
C_1 A = 9 C_2 B = 9\cdot \frac{1}{10} = \frac{9}{10}.
Portanto
C_1 = \frac{9}{10A} = \frac{9}{10 e}.

Passo 6

Resumo dos valores das constantes encontrados:
C_1 = \frac{9}{10 e},\qquad C_2 = \frac{e^{9}}{10}.
Esses são os coeficientes que tornam a solução geral compatível com as condições iniciais em x=1.

Resposta

y(x)=\frac{9}{10e}\,e^{x}+\frac{e^{9}}{10}\,e^{-9x}

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