Resolva:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
Informações dadas:
- A equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes é
e
- O objetivo é determinarpara todo (a solução que satisfaz as condições em ).]
Passo 2
Idéia do método (explicação didática):
- Para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, costuma-se procurar soluções da forma
. - Isso funciona porque, ao derivar, aparecem fatores
que transformam a equação diferencial numa equação polinomial em (a chamada equação característica). Vou mostrar isso passo a passo.
Substituindo
em
temos:
Substituindo na equação:
Como
, pode-se dividir por
e obter a equação característica:
Passo 3
Resolver a equação característica (passo a passo):
- Calcular o discriminante:
- Raízes:
Portanto as raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a forma geral da solução da equação homogênea é
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Derivar a solução geral para usar a condição sobre
:
- A derivada de
é, aplicando a regra da derivada de exponencial:
Explicando a conta: derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais em
e resolver para
e
:
- Da condição
:
- Da condição
:
Chamo para facilitar
e
. As equações ficam
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar
:
Voltando
obtemos
Agora usar a segunda equação
. Note que
. Então
Portanto
Passo 6
Resumo dos valores das constantes encontrados:
Esses são os coeficientes que tornam a solução geral compatível com as condições iniciais em
.