Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes.
(4 pontos) \int_{0}^{+\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{2}}}
é convergente ou divergente. Informações importantes dadas:
  • O intervalo de integração vai de 0 até +\infty, portanto há potencial de impropriedade em x=0 (denominador pode ficar singular) e em x\to+\infty.
  • A função integranda é \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} definida para x>0.
    A tarefa é concluir se a integral (considerando ambas as impropriedades) converge (tem valor finito) ou diverge.

Passo 2

Reescrever a função de forma mais simples usando regras de potência:
\sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{1/3}=x^{2/3}\quad\text{para }x\ge0,
portanto a integranda é
\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}=x^{-2/3}.
Observação: para x>0 não há ambiguidade de sinal e a escrita x^{-2/3} é válida. Assim a integral passa a ser
\int_{0}^{+\infty} x^{-2/3}\,dx.

Passo 3

Definição e estratégia para integrar em um intervalo impropriamente extenso: separa-se a integral em duas partes para tratar cada impropriedade:
\int_{0}^{+\infty} x^{-2/3}\,dx = \int_{0}^{1} x^{-2/3}\,dx + \int_{1}^{+\infty} x^{-2/3}\,dx.
Cada uma das integrais do lado direito é tratada como limite:
\int_{0}^{1} x^{-2/3}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1} x^{-2/3}\,dx, \qquad \int_{1}^{+\infty} x^{-2/3}\,dx = \lim_{R\to +\infty}\int_{1}^{R} x^{-2/3}\,dx.
Se ambas essas limitações forem finitas, a integral original converge; se pelo menos uma divergir, a integral original diverge.

Passo 4

Calcular a primitiva da função potência e explicar a fórmula usada: para \alpha\neq -1,
\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
Aqui \alpha=-\tfrac{2}{3}, logo \alpha+1=\tfrac{1}{3}\neq0 e a primitiva é
\int x^{-2/3}\,dx = \frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}+C.

Passo 5

Avaliar a parte perto de 0:
\int_{0}^{1} x^{-2/3}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\left[3x^{1/3}\right]_{x=a}^{x=1} = \lim_{a\to 0^+} \big(3\cdot1^{1/3}-3a^{1/3}\big) =3-0=3.
Portanto a integral na vizinhança de 0 converge e vale 3.

Passo 6

Avaliar a parte no infinito:
\int_{1}^{+\infty} x^{-2/3}\,dx = \lim_{R\to+\infty}\left[3x^{1/3}\right]_{x=1}^{x=R} = \lim_{R\to+\infty} \big(3R^{1/3}-3\big).
Como R^{1/3}\to+\infty quando R\to+\infty, o limite é +\infty. Logo a integral no trecho [1,+\infty) diverge (tende a infinito).

Passo 7

Conclusão combinando os resultados: a integral impropria original é soma de uma parte finita ( 3) e de uma parte que diverge para +\infty; assim a integral total diverge.

Resposta

Divergente.

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