Determine se as integrais impróprias abaixo são convergentes ou divergentes.
(4 pontos)
(4 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações importantes dadas:
- O intervalo de integração vai de
até , portanto há potencial de impropriedade em (denominador pode ficar singular) e em . - A função integranda é
definida para .
A tarefa é concluir se a integral (considerando ambas as impropriedades) converge (tem valor finito) ou diverge.
Passo 2
Reescrever a função de forma mais simples usando regras de potência:
portanto a integranda é
Observação: para
não há ambiguidade de sinal e a escrita
é válida. Assim a integral passa a ser
Passo 3
Definição e estratégia para integrar em um intervalo impropriamente extenso: separa-se a integral em duas partes para tratar cada impropriedade:
Cada uma das integrais do lado direito é tratada como limite:
Se ambas essas limitações forem finitas, a integral original converge; se pelo menos uma divergir, a integral original diverge.
Passo 4
Calcular a primitiva da função potência e explicar a fórmula usada: para
,
Aqui
, logo
e a primitiva é
Passo 5
Avaliar a parte perto de
:
Portanto a integral na vizinhança de
converge e vale
.
Passo 6
Avaliar a parte no infinito:
Como
quando
, o limite é
. Logo a integral no trecho
diverge (tende a infinito).
Passo 7
Conclusão combinando os resultados: a integral impropria original é soma de uma parte finita (
) e de uma parte que diverge para
; assim a integral total diverge.
Resposta
Divergente.