Determine se as integrais impróprias com limites de integração infinitos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
integral0^infty 1raiz[3]x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a integral imprópria com limites de integração infinitos converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai achar o valor dela. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e testes de convergência. Vamos precisar saber como calcular integrais indefinidas e aplicar critérios para verificar se a integral dá um resultado finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização:
integral0^infty 1raiz[3]x+1 , dx
Isso é a mesma coisa que:
integral0^infty (x + 1)^-13 , dx
Aqui, a função que estamos integrando é (x + 1)^-13.

Passo 3

Como os limites de integração são de 0 até infinito, essa é uma integral imprópria. Para resolver, podemos encontrar a antiderivada dessa função e depois avaliar o limite quando x tende ao infinito.

Passo 4

Vamos encontrar a antiderivada de (x + 1)^-13. Para isso, usamos a regra da potência para integrais:
integral (x + 1)^n , dx = (x + 1)^n + 1n + 1 + C
onde n neq -1. No nosso caso, n = -13, que é diferente de -1, então podemos aplicar a regra.

Passo 5

Aplicando a regra:
integral (x + 1)^-13 , dx = (x + 1)^-13 + 1-13 + 1 + C = (x + 1)^2323 + C = 32 (x + 1)^23 + C
Então, a antiderivada é 32 (x + 1)^23 + C.

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 até b e depois tirar o limite quando b tende ao infinito:
integral0^b (x + 1)^-13 , dx = [ 32 (x + 1)^23 ]0^b = 32 (b + 1)^23 - 32 (0 + 1)^23
Simplificando:
32 (b + 1)^23 - 32

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty ( 32 (b + 1)^23 - 32 )
À medida que b cresce, (b + 1)^23 também cresce sem limites. Ou seja, 32 (b + 1)^23 tende ao infinito.

Passo 8

Subtraindo uma constante ( 32) de algo que tende ao infinito ainda dá infinito. Portanto:
limb to infty ( 32 (b + 1)^23 - 32 ) = infty
Isso significa que a integral diverge.

Resposta

A integral diverge.

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