Determine se as integrais impróprias com limites de integração infinitos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a integral imprópria com limites de integração infinitos converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai achar o valor dela. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e testes de convergência. Vamos precisar saber como calcular integrais indefinidas e aplicar critérios para verificar se a integral dá um resultado finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização:
Isso é a mesma coisa que:
Aqui, a função que estamos integrando é
.
Passo 3
Como os limites de integração são de 0 até infinito, essa é uma integral imprópria. Para resolver, podemos encontrar a antiderivada dessa função e depois avaliar o limite quando
tende ao infinito.
Passo 4
Vamos encontrar a antiderivada de
. Para isso, usamos a regra da potência para integrais:
onde
. No nosso caso,
, que é diferente de
, então podemos aplicar a regra.
Passo 5
Aplicando a regra:
Então, a antiderivada é
.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 até
e depois tirar o limite quando
tende ao infinito:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
À medida que
cresce,
também cresce sem limites. Ou seja,
tende ao infinito.
Passo 8
Subtraindo uma constante (
) de algo que tende ao infinito ainda dá infinito. Portanto:
Isso significa que a integral diverge.
Resposta
A integral diverge.