Determine se as integrais impróprias seguintes convergem ou não. Calcule o valor das que convergem.
\int_{-\infty}^{-2} \frac{1}{(x+1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{-2} \frac{1}{(x+1)^{3}}\,dx
converge ou diverge, e — caso converja — calcular o seu valor. As informações relevantes são:
\text{intervalo de integração: }(-\infty,-2],çã
\text{integrando: } \frac{1}{(x+1)^{3}} = (x+1)^{-3}.
Observação: o integrando tem uma singularidade em x=-1, mas esse ponto não está no intervalo (-\infty,-2] (pois -1>-2), portanto não há singularidade no interior do intervalo dado; a impropriedade vem apenas do limite inferior ir até -\infty.

Passo 2

Definimos a integral imprópria como um limite de integrais próprias. Isto é, por definição:
\int_{-\infty}^{-2} \frac{1}{(x+1)^{3}}\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{-2} (x+1)^{-3}\,dx.
Explico essa ideia rapidinho: quando um dos limites de integração é infinito, a integral é definida como o limite do integral com esse limite substituído por um parâmetro que tende ao infinito. Se esse limite existir (finito), dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.

Passo 3

Vamos calcular a primitiva (antiderivada) de (x+1)^{-3}. Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int (x+1)^{n}\,dx = \frac{(x+1)^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-3, então n+1=-2\neq -1, logo a regra vale. Assim
\int (x+1)^{-3}\,dx = \frac{(x+1)^{-2}}{-2} + C.
Para ficar claro o que cada símbolo significa: (x+1)^{-2} é \dfrac{1}{(x+1)^{2}} e o denominador -2 vem do n+1 na regra da potência.

Passo 4

Usamos a primitiva para escrever a integral própria e depois fazemos o limite:
\int_{a}^{-2} (x+1)^{-3}\,dx = \left[\frac{(x+1)^{-2}}{-2}\right]_{x=a}^{x=-2} = \frac{(-2+1)^{-2}}{-2} - \frac{(a+1)^{-2}}{-2}.
Calculo a primeira parcela: -2+1=-1 e (-1)^{-2}=1. Assim a expressão fica
\frac{1}{-2} - \left(-\frac{1}{2}(a+1)^{-2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}(a+1)^{-2}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando a\to -\infty. Note que para a\to -\infty temos (a+1)^{-2}\to 0 porque é o inverso do quadrado de um número que tende a infinito (sempre positivo e indo a zero). Portanto
\lim_{a\to -\infty}\left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}(a+1)^{-2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot 0 = -\frac{1}{2}.
Como o limite existe e é finito, a integral converge.

Passo 6

Comentário adicional para fixar a intuição: olhando o comportamento para x muito negativo, \dfrac{1}{(x+1)^3} se comporta como \dfrac{1}{x^3}. A integral imprópria \int_{-\infty}^{-2} \dfrac{1}{x^p}\,dx converge quando p>1. Aqui p=3>1, então já era de se esperar a convergência — a conta confirma e fornece o valor exato.

Resposta

Converge e o valor é -\dfrac{1}{2}.

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