Determine se as integrais impróprias seguintes convergem ou não. Calcule o valor das que convergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
converge ou diverge, e — caso converja — calcular o seu valor. As informações relevantes são:
Observação: o integrando tem uma singularidade em
, mas esse ponto não está no intervalo
(pois
), portanto não há singularidade no interior do intervalo dado; a impropriedade vem apenas do limite inferior ir até
.
Passo 2
Definimos a integral imprópria como um limite de integrais próprias. Isto é, por definição:
Explico essa ideia rapidinho: quando um dos limites de integração é infinito, a integral é definida como o limite do integral com esse limite substituído por um parâmetro que tende ao infinito. Se esse limite existir (finito), dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.
Passo 3
Vamos calcular a primitiva (antiderivada) de
. Usamos a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
, logo a regra vale. Assim
Para ficar claro o que cada símbolo significa:
é
e o denominador
vem do
na regra da potência.
Passo 4
Usamos a primitiva para escrever a integral própria e depois fazemos o limite:
Calculo a primeira parcela:
e
. Assim a expressão fica
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Note que para
temos
porque é o inverso do quadrado de um número que tende a infinito (sempre positivo e indo a zero). Portanto
Como o limite existe e é finito, a integral converge.
Passo 6
Comentário adicional para fixar a intuição: olhando o comportamento para
muito negativo,
se comporta como
. A integral imprópria
converge quando
. Aqui
, então já era de se esperar a convergência — a conta confirma e fornece o valor exato.
Resposta
Converge e o valor é
.