Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes.
\int_{2}^{+\infty} \frac{x+2}{x^{3 / 2}+x^{1 / 2}+1} d x;

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{2}^{+\infty} \frac{x+2}{x^{3/2}+x^{1/2}+1}\,dx
é convergente ou divergente. Informação dada: o integrando é \dfrac{x+2}{x^{3/2}+x^{1/2}+1} e o intervalo de integração é [2,+\infty). A impropriedade vem do limite superior infinito. A pergunta é: essa integral imprópria converge (tem valor finito) ou diverge (é infinita)?

Passo 2

Observação sobre a estratégia: quando o intervalo é infinito, a ideia é comparar o comportamento do integrando para x grande com uma função mais simples cuja convergência já conhecemos (teste comparativo). Para isso vamos estudar o comportamento assintótico do integrando quando x\to\infty.

Passo 3

Vamos olhar o termo dominante no numerador e no denominador quando x fica grande. O numerador é x+2, que para x\to\infty se comporta como x. O denominador é x^{3/2}+x^{1/2}+1; para x\to\infty o termo dominante é x^{3/2}. Portanto, intuitivamente, para grandes x temos
\frac{x+2}{x^{3/2}+x^{1/2}+1}\approx \frac{x}{x^{3/2}}=\frac{1}{x^{1/2}}.
Ou seja, o integrando se comporta como \dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{x^{1/2}} para x grande.

Passo 4

Para formalizar essa comparação vamos usar o teste da comparação por limite (limit comparison). Definimos
f(x)=\frac{x+2}{x^{3/2}+x^{1/2}+1}\qquad\text{e}\qquad g(x)=\frac{1}{x^{1/2}}.
Calculamos o limite do quociente f(x)/g(x) quando x\to\infty:
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{x+2}{x^{3/2}+x^{1/2}+1}}{\dfrac{1}{x^{1/2}}} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^{1/2}(x+2)}{x^{3/2}+x^{1/2}+1}.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do limite:
x^{1/2}(x+2)=x^{3/2}+2x^{1/2},
portanto
\frac{x^{1/2}(x+2)}{x^{3/2}+x^{1/2}+1} =\frac{x^{3/2}+2x^{1/2}}{x^{3/2}+x^{1/2}+1}.
Dividindo numerador e denominador por x^{3/2} (para ver o comportamento quando x\to\infty) obtemos
\frac{1+\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{x^{3/2}}}
e, tomando o limite quando x\to\infty,
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3/2}+2x^{1/2}}{x^{3/2}+x^{1/2}+1}=1.

Passo 6

Aplicando o teste de comparação por limite: se f(x) e g(x) são funções positivas para x grande e
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=c
com 0<c<\infty, então as integrais \int^{\infty} f e \int^{\infty} g convergem ou divergem juntas. No nosso caso o limite deu c=1\in(0,\infty), então a convergência de \int_{2}^{\infty} f(x)\,dx é a mesma de \int_{2}^{\infty} g(x)\,dx.

Passo 7

Estudamos agora a integral mais simples
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{1/2}}\,dx.
Essa é uma integral do tipo potência: para p\neq 1,
\int_{2}^{b} x^{-p}\,dx=\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{2}^{b}.
Aqui p=\tfrac{1}{2}, então
\int_{2}^{b} x^{-1/2}\,dx=\left[ \frac{x^{1-1/2}}{1-1/2}\right]_{2}^{b} =\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{2}^{b}=2\big(\sqrt{b}-\sqrt{2}\big).
Fazendo b\to\infty obtemos 2(\sqrt{b}-\sqrt{2})\to\infty. Portanto
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{1/2}}\,dx=\infty,
ou seja, essa integral diverge.

Passo 8

Como pelo teste por limite a integral original tem o mesmo comportamento de convergência que \int_{2}^{\infty} x^{-1/2}\,dx, e essa última diverge, concluímos que a integral dada também diverge.

Resposta

Divergente.

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