Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes.
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informação dada: o integrando é
e o intervalo de integração é
. A impropriedade vem do limite superior infinito. A pergunta é: essa integral imprópria converge (tem valor finito) ou diverge (é infinita)?
Passo 2
Observação sobre a estratégia: quando o intervalo é infinito, a ideia é comparar o comportamento do integrando para
grande com uma função mais simples cuja convergência já conhecemos (teste comparativo). Para isso vamos estudar o comportamento assintótico do integrando quando
.
Passo 3
Vamos olhar o termo dominante no numerador e no denominador quando
fica grande. O numerador é
, que para
se comporta como
. O denominador é
; para
o termo dominante é
. Portanto, intuitivamente, para grandes
temos
Ou seja, o integrando se comporta como
para
grande.
Passo 4
Para formalizar essa comparação vamos usar o teste da comparação por limite (limit comparison). Definimos
Calculamos o limite do quociente
quando
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do limite:
portanto
Dividindo numerador e denominador por
(para ver o comportamento quando
) obtemos
e, tomando o limite quando
,
Passo 6
Aplicando o teste de comparação por limite: se
e
são funções positivas para
grande e
com
, então as integrais
e
convergem ou divergem juntas. No nosso caso o limite deu
, então a convergência de
é a mesma de
.
Passo 7
Estudamos agora a integral mais simples
Essa é uma integral do tipo potência: para
,
Aqui
, então
Fazendo
obtemos
. Portanto
ou seja, essa integral diverge.
Passo 8
Como pelo teste por limite a integral original tem o mesmo comportamento de convergência que
, e essa última diverge, concluímos que a integral dada também diverge.
Resposta
Divergente.