Determine as integrais indefinidas indicadas (2 pontos)
integral (arctg x)^31+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral (arctg, x)^31+x^2 , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais que envolvem funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que temos arctg, x elevada ao cubo e um denominador de 1 + x^2. Sabemos que a derivada de arctg, x é 11 + x^2, então isso nos dá uma pista para a substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição: seja u = arctg, x. Agora, vamos derivar u em relação a x:
dudx = 11 + x^2 Rightarrow du = 11 + x^2 , dx
Isso significa que 11 + x^2 , dx pode ser substituído por du na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral (arctg, x)^31 + x^2 , dx = integral u^3 , du
Agora, a integral está muito mais simples!

Passo 5

Vamos integrar u^3 em relação a u:
integral u^3 , du = u^44 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos u de volta para arctg, x:
u^44 + C = (arctg, x)^44 + C

Resposta

A integral integral (arctg, x)^31+x^2 , dx é igual a (arctg, x)^44 + C.

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