Um terreno irregular tem os seus vértices localizados pelas coordenadas A(5, 20, 8), B(7, 50, 10), C(60, 40, 3) e D(50, 10, 2), dadas num sistema de coordenadas cartesianas triortogonais, em que a unidade de medida nos eixos coordenados é o metro e as cotas estão referidas a um plano horizontal de referência. Calcule:
as distáncais horizontais dos lados do terreno;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um terreno com quatro vértices: A(5, 20, 8), B(7, 50, 10), C(60, 40, 3) e D(50, 10, 2). O que precisamos calcular são as distâncias horizontais dos lados desse terreno. Isso significa que vamos ignorar a altura (cota) e calcular a distância entre os pontos considerando apenas as coordenadas X e Y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é distância horizontal. Em um sistema de coordenadas, a distância entre dois pontos no plano horizontal (ignorando o eixo Z) pode ser calculada usando a fórmula da distância euclidiana:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Essa fórmula nos dá a distância direta entre dois pontos no plano XY.

Passo 3

Agora, vamos identificar os lados do terreno:
  • Lado AB: de A para B
  • Lado BC: de B para C
  • Lado CD: de C para D
  • Lado DA: de D para A
Vamos calcular a distância horizontal para cada um desses lados usando as coordenadas X e Y dos pontos.

Passo 4

Vamos começar com o lado AB:
Ponto A: (5, 20)
Ponto B: (7, 50)
Aplicando a fórmula:
dAB = raiz(7 - 5)^2 + (50 - 20)^2
dAB = raiz2^2 + 30^2
dAB = raiz4 + 900
dAB = raiz904
dAB approx 30,07 metros

Passo 5

Agora, o lado BC:
Ponto B: (7, 50)
Ponto C: (60, 40)
Aplicando a fórmula:
dBC = raiz(60 - 7)^2 + (40 - 50)^2
dBC = raiz53^2 + (-10)^2
dBC = raiz2809 + 100
dBC = raiz2909
dBC approx 53,95 metros

Passo 6

Seguimos para o lado CD:
Ponto C: (60, 40)
Ponto D: (50, 10)
Aplicando a fórmula:
dCD = raiz(50 - 60)^2 + (10 - 40)^2
dCD = raiz(-10)^2 + (-30)^2
dCD = raiz100 + 900
dCD = raiz1000
dCD approx 31,62 metros

Passo 7

Por último, o lado DA:
Ponto D: (50, 10)
Ponto A: (5, 20)
Aplicando a fórmula:
dDA = raiz(5 - 50)^2 + (20 - 10)^2
dDA = raiz(-45)^2 + 10^2
dDA = raiz2025 + 100
dDA = raiz2125
dDA approx 46,10 metros

Resposta

As distâncias horizontais dos lados do terreno são:
  • AB ≈ 30,07 metros
  • BC ≈ 53,95 metros
  • CD ≈ 31,62 metros
  • DA ≈ 46,10 metros

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