Determine as integrais indefinidas indicadas (2 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender algumas identidades trigonométricas básicas e como aplicá-las nas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o que está dentro da raiz:
. Você lembra da identidade trigonométrica fundamental que relaciona seno e cosseno? Sim, é a $ \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 $. Se a gente rearranja essa equação, fica:
Passo 3
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. A raiz quadrada de $ \cos^{2} x $ é igual a $ |\cos x| $, que é o valor absoluto de $ \cos x $.
Passo 4
Então, a integral fica:
Aqui, estamos dividindo $ \cos x $ por seu valor absoluto. Dependendo do sinal de $ \cos x $, isso vai simplificar para 1 ou -1. Mas, para simplificar, vamos assumir que $ \cos x $ é positivo (isso vale para muitos casos comuns, a menos que o intervalo esteja onde $ \cos x $ é negativo).
Passo 5
Sob essa suposição, $ \frac{\cos x}{|\cos x|} = 1 $. Então, a integral se torna:
Passo 6
Integrar 1 em relação a $ x $ é bem simples. A integral de 1 é apenas $ x $, mais a constante de integração $ C $.