Determine as integrais:
\int \frac{x{2}-x+5}{x\left(x{2}+1\right)} d x
\int \frac{x{2}-x+5}{x\left(x{2}+1\right)} d x
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede: temos a integral
e queremos calcular uma primitiva (ou antiderivada) dessa função racional. Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é a função racional
. - O denominador fatorou-se como
e . - A tarefa é encontrar explicitamente uma expressão cuja derivada é o integrando (incluir a constante de integração).
Passo 2
Verificação rápida de forma: a função é uma fração onde o grau do numerador (grau
) é menor que o grau do denominador (grau
), portanto já é uma fração própria. Isso permite usar decomposição em frações parciais no formato
onde
,
e
são constantes a determinar. Vou explicar por que escolhemos esse formato: como
é um quadrático irreduzível (não tem raízes reais), o termo correspondente na decomposição é um numerador linear
. Já para o fator linear
usamos uma constante
sobre
.
Passo 3
Determinação das constantes
,
e
. Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
Agora expandimos o lado direito e agrupamos termos por potências de
.
Passo 4
Expansão e comparação de coeficientes. Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Como isso deve ser igual ao polinômio do lado esquerdo
para todos os
, igualamos coeficientes de cada potência de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Portanto
. Substituindo em
obtemos
então
. Já temos
. Logo:
Passo 5
Separação da integral em parcelas mais simples. Usamos linearidade da integral para escrever
Agora vou explicar as fórmulas e técnicas que vou usar para cada termo:
- Para
usamos a regra básica . Aqui multiplicaremos por . - Para
usamos substituição simples: se então . Assim termos do tipo transformam-se em logaritmo. - Para
usamos a primitiva conhecida .
Vou aplicar cada uma com detalhes.
Passo 6
Cálculo termo a termo.
- Primeiro termo:
Explicação: a integral de
é o logaritmo natural do valor absoluto de
, porque a derivada de
é
.
- Segundo termo (substituição): calcule
Faça
. Então
, ou seja
. Substituindo:
Voltando à variável
:
. Observação: aqui usamos
sem valor absoluto porque
para todo
.
- Terceiro termo:
Explicação: a primitiva de
é
, já que
.
Passo 7
Somando as três primitivas obtidas e adicionando a constante de integração
, temos
Se quisermos, podemos combinar os dois logaritmos numa única expressão logarítmica:
mas não é necessário para a resposta.