Determine as integrais:
\int \frac{x{2}-x+5}{x\left(x{2}+1\right)} d x

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede: temos a integral
\int \frac{x^{2}-x+5}{x\left(x^{2}+1\right)}\,dx
e queremos calcular uma primitiva (ou antiderivada) dessa função racional. Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é a função racional \dfrac{x^{2}-x+5}{x\,(x^{2}+1)}.
  • O denominador fatorou-se como x e x^{2}+1.
  • A tarefa é encontrar explicitamente uma expressão cuja derivada é o integrando (incluir a constante de integração).

Passo 2

Verificação rápida de forma: a função é uma fração onde o grau do numerador (grau 2) é menor que o grau do denominador (grau 3), portanto já é uma fração própria. Isso permite usar decomposição em frações parciais no formato
\frac{x^{2}-x+5}{x\,(x^{2}+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A, B e C são constantes a determinar. Vou explicar por que escolhemos esse formato: como x^{2}+1 é um quadrático irreduzível (não tem raízes reais), o termo correspondente na decomposição é um numerador linear Bx+C. Já para o fator linear x usamos uma constante A sobre x.

Passo 3

Determinação das constantes A, B e C. Multiplicamos ambos os lados por x(x^{2}+1) para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
x^{2}-x+5 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)\,x.
Agora expandimos o lado direito e agrupamos termos por potências de x.

Passo 4

Expansão e comparação de coeficientes. Expandindo:
A(x^{2}+1) + (Bx+C)x = A x^{2} + A + B x^{2} + C x.
Agrupando termos semelhantes:
(A+B)x^{2} + C x + A.
Como isso deve ser igual ao polinômio do lado esquerdo x^{2}-x+5 para todos os x, igualamos coeficientes de cada potência de x:
  • Coeficiente de x^{2}: A+B = 1.
  • Coeficiente de x: C = -1.
  • Termo constante: A = 5.
Portanto A=5. Substituindo em A+B=1 obtemos 5+B=1 então B=-4. Já temos C=-1. Logo:
\frac{x^{2}-x+5}{x\,(x^{2}+1)}=\frac{5}{x}+\frac{-4x-1}{x^{2}+1}.

Passo 5

Separação da integral em parcelas mais simples. Usamos linearidade da integral para escrever
\int \frac{x^{2}-x+5}{x\,(x^{2}+1)}\,dx = \int \frac{5}{x}\,dx + \int \frac{-4x}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{-1}{x^{2}+1}\,dx.
Agora vou explicar as fórmulas e técnicas que vou usar para cada termo:
  • Para \displaystyle\int \frac{5}{x}\,dx usamos a regra básica \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert. Aqui multiplicaremos por 5.
  • Para \displaystyle\int \frac{-4x}{x^{2}+1}\,dx usamos substituição simples: se u=x^{2}+1 então du=2x\,dx. Assim termos do tipo x/(x^{2}+1) transformam-se em logaritmo.
  • Para \displaystyle\int \frac{-1}{x^{2}+1}\,dx usamos a primitiva conhecida \displaystyle\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x.
Vou aplicar cada uma com detalhes.

Passo 6

Cálculo termo a termo.
  1. Primeiro termo:
\int \frac{5}{x}\,dx = 5\int \frac{1}{x}\,dx = 5\ln\lvert x\rvert.
Explicação: a integral de 1/x é o logaritmo natural do valor absoluto de x, porque a derivada de \ln\lvert x\rvert é 1/x.
  1. Segundo termo (substituição): calcule
\int \frac{-4x}{x^{2}+1}\,dx.
Faça u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Substituindo:
\int \frac{-4x}{x^{2}+1}\,dx = -4\int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} = -4\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = -2\int \frac{1}{u}\,du = -2\ln u.
Voltando à variável x: -2\ln(x^{2}+1). Observação: aqui usamos \ln sem valor absoluto porque x^{2}+1>0 para todo x.
  1. Terceiro termo:
\int \frac{-1}{x^{2}+1}\,dx = -\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = -\arctan x.
Explicação: a primitiva de 1/(x^{2}+1) é \arctan x, já que \dfrac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\dfrac{1}{x^{2}+1}.

Passo 7

Somando as três primitivas obtidas e adicionando a constante de integração C, temos
\int \frac{x^{2}-x+5}{x\,(x^{2}+1)}\,dx = 5\ln\lvert x\rvert -2\ln(x^{2}+1) -\arctan x + C.
Se quisermos, podemos combinar os dois logaritmos numa única expressão logarítmica:
5\ln\lvert x\rvert -2\ln(x^{2}+1)=\ln\!\bigg(\frac{\lvert x\rvert^{5}}{(x^{2}+1)^{2}}\bigg),
mas não é necessário para a resposta.

Resposta

5\ln\lvert x\rvert -2\ln(x^{2}+1) -\arctan x + C

Exercícios relacionados